Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

190
Будем искать решение в виде ряда Тейлора
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
...
!
...
!2!1
0
0
2
0
0
0
0
0
+−+
++−
′′
+−
′
+==
n
n
xx
n
xy
xx
xy
xx
xy
xyxyy
Значение
( )
0
xy
задано в виде начального условия
( )
00
yxy =
. Чтобы найти
( )
0
xy
′
, подставим в ДУ
( )
yxfy ,=
′
значения
0
xx =
и
0
yy =
, т.е.
( ) ( )
000
, yxfxy =
′
.
Чтобы определить
( )
0
xy
′′
, продифференцируем уравнение
( )
yxfy ,=
′
. Получим
(так как
( )
xyy =
, то для нахождения
y
′′
использовали формулу произ-
водной сложной функции). Тогда
( ) ( ) ( ) ( )
000000
,, xyyxfyxfxy
yx
′
⋅
′
+
′
=
′′
.
Аналогично, чтобы найти
( )
0
xy
′′′
, продифференцируем
уравнение
yffy
yx
′
⋅
′
+
′
=
′′
. Получим
( )
=
′
′
⋅
′
+
′
=
′′′
x
yx
yffy
( )
yfyfyfyff
y
y
yxxy
x
′′
⋅
′
+
′
⋅
′′
+
′
⋅
′′
+
′
⋅
′′
+
′′
=
2
22
и так далее.
Найденные значения производных подставляем в ряд и по-
лучаем решение задачи Коши. Данный метод можно применять
для уравнений любого порядка.
Пример 5. Записать пять первых членов разложения в СР
решения ДУ
xyey
y
+=
′
, удовлетворяющего начальному усло-
вию
( )
00 =y
.
◄ Т.к.
0
0
=x
, то будем искать решение в виде ряда Мак-
лорена
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
...
!4
0
!3
0
!2
0
!1
0
0
432
++
′′′
+
′′
+
′
+= x
y
x
y
x
y
x
y
yxy
IV
По условию
( )
00 =y
, тогда
( )
( )
10
0,0
=+=
′
== yx
y
xyey
.

Страницы