Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

202
§ 2. Разложение в ряд Фурье
2π
-периодических
четных и нечетных функций
Пусть функция
( )
xfy =
удовлетворяет теореме Дирихле и
является четной, то есть
( ) ( )
xfxf =−
. Тогда ее коэффициенты
Фурье можно вычислить по формулам:
( )
,
2
0
0
∫
=
π
π
dxxfa
( )
,cos
2
0
∫
=
π
π
nxdxxfa
n
.0=
n
b
При этом ряд Фурье четной функции принимает вид
( )
∑
+
+∞
=1
0
cos
2
~
n
n
nxa
a
xf
.
Такой ряд называется рядом Фурье по косинусам.
Если функция
( )
xfy =
является нечетной функцией, то
есть
( ) ( )
xfxf −=−
, то ее коэффициенты Фурье можно вычис-
лить по формулам:
0
0
==
n
aa
,
.
При этом ряд Фурье нечетной функции принимает вид
( )
∑
+∞
=1
sin~
n
n
nxbxf
.
Такой ряд называется рядом Фурье по синусам.
Пример 1. Пусть функция
( )
xfy =
является
π
2
-периоди-
ческой и удовлетворяет условию
( )
2
xxf =
при
[ ]
ππ
;−∈x
.
Найти ее разложение в ряд Фурье.
◄ Так как функция четная, то коэффициенты
0=
n
b
. Вы-
числим
( )
3
222
2
0
2
0
0
π
ππ
ππ
=
∫
=
∫
= dxxdxxfa
,

Страницы