Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

209
а) Чтобы разложить функцию
( )
xfy =
в ряд по косинусам,
рассмотрим вспомогательную периодическую функцию с пе-
риодом
dT 2=
такую, что
( )
( ) (
)
( ) ( )
−∈−
∈
==
0
;,
,;0,
dxxf
dxxf
xgy
. Т.е.
продолжим исходную функцию
( )
xfy =
по четности и по пе-
риодичности.
Разложим полученную функцию
( )
xgy =
в ряд Фурье. Т.к.
она является четной, то
0=
n
b
, для любого
,2,1,0=n
най-
дем
( )
( )
∫
=
∫
=
00
cos
2
cos
2
dx
nx
xfdx
nx
xga
n
ππ
, где
d
T
==
2
. Полученный ряд будет сходиться к функции
( )
xfy =
, если
– точка непрерывности этой функции.
б) Чтобы разложить функцию
( )
xfy =
в ряд по синусам,
рассмотрим вспомогательную периодическую функцию с пе-
риодом
dT 2=
такую, что
( )
( ) ( )
( ) ( )
−∈−−
∈
==
0;,
,;0,
dxxf
dxxf
xgy
.
Т.е. продолжим исходную функцию
( )
xfy =
по нечетности и
по периодичности.
Разложим полученную функцию
( )
xgy =
в ряд Фурье. Так
как она является нечетной, то
0
0
==
n
aa
и
( )
( )
∫
=
∫
=
00
sin
2
sin
2
dx
nx
xfdx
nx
xgb
n
ππ
, где
d
T
==
2
. По-
лученный ряд будет сходиться к функции
( )
xfy =
, если
– точка непрерывности этой функции.
в) Чтобы получить разложение в ряд Фурье общего вида,
для функции
( )
xfy =
рассмотрим вспомогательную периоди-
ческую функцию с периодом
dT =
такую, что
( ) ( ) ( )
dxxfxgy ;0, ∈==
. Т.е. продолжим исходную функцию

Страницы