Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

34
бианом), а функция
( )
yxfz ,=
непрерывна в области
D
, то
имеет место формула замены переменных в ДИ:
( ) ( ) ( )( ) ( )
∫∫
⋅=
∫∫
*
,,,,,
D
D
dvduvuIvuyvuxfdydxyxf
.
Рассмотрим частные случаи замены переменных.
Полярная система координат (ПСК) связана с декартовой
системой координат с помощью соотношений:
=
=
,sin
,cos
ϕρ
ϕρ
y
x
, где
0≥
ρ
,
πϕ
20 ≤≤
.
X
Y
O
(x, y)
ρ
ϕ
При этом можно составить якобиан:
( )
=
−
=
′′
′′
=
ϕρϕ
ϕρϕ
ϕρ
ϕρ
ϕρ
cossin
sincos
,
yy
xx
I
0sincos
22
≥=+=
ρϕρϕρ
.
Поэтому формула замены переменных примет вид:
,
где
*
D
– область в ПСК, получаемая из области
D
с помощью
преобразования
ϕρ
cos=x
,
ϕρ
sin=y
. В полученном ДИ
можно расставить границы одним из предыдущих способов вы-
числения.
Полезно знать, что в ПСК верна формула
222
ρ
=+ yx
.
Замечание 4. Переход в ПСК полезно осуществлять в слу-
чае, если область
D
есть круг, круговое кольцо или их часть.
Обобщенная полярная система координат (ОПСК) свя-
зана с декартовой системой координат с помощью соотноше-
ний:
=
=
,sin
,cos
ϕρ
ϕρ
by
ax
, где
0≥
ρ
,
πϕ
20 ≤≤
,
0, >ba
,
ba ≠
.

Страницы