Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

44
=
∫∫
⋅
−
⋅=
∫∫
−−
⋅=
∗
D
D
пов
dd
yx
dydx
S
ϕρρ
ρ
222
16
1
4
16
4
=
∫
−
=
∫
−
=
∫
−
∫
=
4
0
2
0
4
0
2
0
2
4
0
16
2
4
16
4
16
4
2
2
ρ
ρ
ρπ
ϕρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
π
π
dddd
( )
(
)
πρπ
ρ
ρ
π
8162
16
16
4
0
2
4
0
2
2
=−⋅−=
∫
−
−
⋅−=
d
.
Окончательно,
π
648 =⋅=
повсфера
SS
. ►
Пример 5. Найти объем тела, ограниченного поверхностя-
ми
49
22
yx
z +=
и
1=z
.
◄ Т.к. заданное тело ограничено снизу эллиптическим па-
раболоидом
49
22
1
yx
z +=
, а сверху плоскостью
1
2
=z
, то объем
такого тела можно найти по формуле:
,
где область
D
– проекция заданного тела на плоскость
XOY
,
которая ограничена кривой
1
49
22
=+
yx
(эллипсом).
Для вычисления ДИ перейдем в ОПСК:
ϕρ
cos3=x
,
ϕρ
sin2=y
,
ρ
6=I
.
Найдем границы области
∗
D
:
1)
1
49
sin2
cos3
1
49
2
2222
≤=+⇒
=
=
⇒≤+
ρ
ϕρ
ϕρ
yx
y
x
yx
,
100,1
2
≤≤⇒≥≤
ρρρ
;
2)
πϕ
20 ≤≤
, т.к. область
D
– эллипс.
Преобразуем подынтегральную функцию:
2
22
12
1
4
9
1
ρ
−=−−=−
yx
zz
.

Страницы