Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

48
( )
0,, ≠
′′′
′′′
′′′
=
wvu
wvu
wvu
zzz
yyy
xxx
wvuI
.
Тогда будет справедлива формула замены переменных:
( ) ( ) ( )
∫∫∫
⋅=
∫∫∫
∗
∗
T
T
dwdvduwvu
Iwvufdzdydxzyxf ,,,,,,
,
где
( ) ( ) ( ) ( )( )
wvuzwvuywvuxfwvuf ,,,,,,,,,, =
∗
.
Рассмотрим частные случаи замены переменных.
Цилиндрическая система координат (ЦСК) (рис. 14) свя-
зана с декартовой системой следующими соотношениями:
ϕρ
cos=x
,
ϕρ
sin=y
,
zz =
,
причем
( )
ρϕρ
=zI ,,
,
0≥
ρ
,
πϕ
20 ≤≤
,
R.
Y
X
Z
M(x, y, z)
ϕ
ρ
z
O
Рис. 14
Полезно знать, что в ЦСК верна формула
222
ρ
=+ yx
.
Тогда формула замены переменных примет вид:
( ) ( )
∫∫∫
⋅=
∫∫∫
∗
∗
T
T
dzddzf
dzdydxzyxf
ϕρρϕρ
,,,,
.
Замечание 1. Переходить в ЦСК удобно, если область
T
образована цилиндрической, параболоидной или конической
поверхностью.
Сферическая система координат (ССК) (рис. 15) связана с
декартовой системой следующими соотношениями:
θϕρ
sincos=x
,
θϕρ
sinsin=y
,
θρ
cos=z
,
причем
( )
θρθϕρ
sin,,
2
=I
,
0≥
ρ
,
πϕ
20 ≤≤
,
πθ
≤≤0
.

Страницы