Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

54
3)
πϕ
20 ≤≤
, т.к. части заданных сфер проектируются на
плоскость
XOY
в круг с центром в начале координат.
По условию плотность тела обратно пропорциональна рас-
стоянию от любой точки тела до начала координат, т.е.
( )
ρ
θϕρµ
1
,, =
∗
. Тогда можно найти искомую массу:
( )
=
∫∫∫
⋅=
∫∫∫
=
∗
∗
θϕρθρµµ
ddddzdy
dxzyxm
T
T
T
sin,,
2
=
∫∫∫
=
∫∫∫
⋅=
∗
4
0
3
2
2
0
2
sinsin
1
π
θθρρϕθϕρθρ
ρ
π
dddddd
T
( )
( )
22
2
5
1
2
2
5cos
2
2
4
0
3
2
2
−=
+−⋅⋅=−⋅
⋅=
π
πθ
ρ
π
π
. ►
Пример 4. Найти координаты центра тяжести однородного
тела, ограниченного плоскостями
0=x
,
0=y
,
0=z
,
01232 =−+ yx
и параболическим цилиндром
2
y
z =
.
◄ Так как тело
T
однородное, то его плотность
1=
µ
. То-
гда координаты центра тяжести
( )
ccc
zyx ,,
могут быть вычис-
лены по формулам:
T
YZ
c
m
M
x =
,
T
XZ
c
m
M
y =
,
T
XY
c
m
M
z =
,
где статические моменты для однородного тела:
∫∫∫
=
T
XY
dzdydxzM
,
∫∫∫
=
T
XZ
dzdydxyM
,
∫∫∫
=
T
YZ
dzdydxxM
,
а масса этого однородного тела
T
:
∫∫∫
=
T
T
dz
dydxm
.
Так как по условию
2
0
2
y
z ≤≤
, то от всех предыдущих ТИ
можно перейти к ДИ:

Страницы