Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

57
Опр. 1. Интегральной суммой для функции
( )
yxfz ,=
по
кривой
L
называется выражение вида
( )
∑
⋅
=
n
i
iii
yxf
1
,
∆
.
Будем увеличивать число точек разбиения (
∞→n
) так,
чтобы длина наибольшей из полученных дуг стремилась к нулю,
т.е.
0→d
, где
i
ni
d
∆
≤≤
=
1
max
.
Опр. 2. Если существует предел интегральных сумм
( )
∑
⋅
=
n
i
iii
yxf
1
,
∆
при
0→d
(
∞→n
), который не зависит ни от
способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек на ней,
то он называется криволинейным интегралом (КИ) от функции
( )
yxfz ,=
по длине кривой
L
(или КИ 1-го рода) и обозначает-
ся:
( ) ( )
∫
=
∑
⋅
=
→
→∞
L
n
i
iii
d
n
dyxfyxf ,,lim
1
0
∆
.
Теорема 1 (достаточное условие существования). Если
функция
( )
yxfz ,=
непрерывна в каждой точке гладкой кри-
вой
L
, то КИ 1-го рода существует и не зависит ни от спосо-
ба разбиения кривой на части, ни от выбора точек на них.
Аналогичным образом можно ввести понятие КИ 1-го рода
от функции
( )
zyxfu ,,=
по пространственной кривой
L
:
( ) ( )
∫
=
∑
⋅
=
→
→∞
L
n
i
iiii
d
n
dzyxfzyxf ,,,,lim
1
0
∆
.
1.2. Свойства КИ 1-го рода
Перечислим некоторые свойства КИ 1-го рода, многие из ко-
торых аналогичны свойствам определенных интегралов, ДИ и ТИ.
1.
, где
constC =
.
2.
( ) ( )( ) ( ) ( )
∫
±
∫
=
∫
±
LLL
d
yxgdyxfdyxgyxf ,,,,
.
3.
( ) ( ) ( )
∫
+
∫
=
∫
CBACAB
dyxfdyxfdyxf ,,,
, где
ABC ∈
.

Страницы