Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

61
3
16
16
9
1
3
2
9
8
16
9
1
16
9
1
9
8
4
0
2
4
0
22
=
+⋅=
∫
++= xxdx
. ►
Пример 2. Найти длину заданной кривой
L
:
3
sin2
3
ϕ
ρ
=
.
◄ Искомая длина
равна
∫
=
L
d
. Т.к. кривая
L
задана в
ПСК, то дифференциал длины дуги может быть найден так:
( )
=
⋅⋅⋅+=
′
+=
ϕ
ϕϕϕ
ϕρρ
ddd
2
26
2
2
3
1
3
cos
3
sin32
3
sin4
=
+=+=
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
dd
3
cos
3
sin
3
sin4
3
cos
3
sin4
3
sin4
224246
ϕ
ϕ
d
3
sin2
2
=
.
Найдем пределы интегрирования исходя из того, что
:
πϕπ
ϕϕϕ
ρ
30
3
00
3
sin0
3
sin2
3
≤≤⇒≤≤⇒≥⇒≥=
.
Найдем искомую длину дуги:
πϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ππ
3
3
2
cos1
3
sin2
3
0
3
0
2
=
∫
−=
∫
=
∫
= ddd
L
. ►
Пример 3. Вычислить интеграл
( )
∫
−=
L
dyxI
, где
xyxL 4:
22
=+
.
◄ Выясним вид заданной кривой:
( )
424:
2
2
22
=+−⇒=+ yxxyxL
,
т.е.
L
– окружность с центром в точке
( )
0;2
и радиусом
2
. Эту
кривую можно задать как параметрически, так и в ПСК.
1-й способ. Зададим кривую
L
параметрически:
.20
,sin2
,cos22
,sin2
,cos22
:
π
≤≤
=
+=
⇒
=
=−
t
ty
tx
ty
tx
L
Тогда дифференциал длины дуги равен:

Страницы