Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

69
( ) ( )
( )
( )
∫
+
22
11
,
,
,,
yx
yx
dyyxQdxyxP
.
Данная запись показывает, что значение интеграла зависит
только от положения точек
( )
11
, yxA
и
( )
22
, yxB
. В качестве
кривой, соединяющей эти точки, можно взять любую кривую.
Во многих случаях удобнее взять прямую, проходящую через
заданные точки, или ломаную, звенья которой параллельны ко-
ординатным осям. В последнем случае (проверьте это самостоя-
тельно) можно получить формулу:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
∫
+
∫
=
∫
+
2
1
2
1
22
11
,,,,
21
,
,
y
y
x
x
yx
yx
dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP
.
Замечание. Если выполняются условия теоремы 4, то
y
P
x
Q
∂
∂
=
∂
∂
, поэтому по формуле Грина
0=
∫
+=
∫∫
∂
∂
−
∂
∂
LD
dyQdxPdydx
y
P
x
Q
.
Верно и обратное.
2.7. Интегрирование полных дифференциалов
Теорема 5 (необходимое и достаточное условие). Пусть
функции
( )
yxP ,
и
( )
yxQ ,
непрерывны в области
D
. КИ 2-го
рода
не зависит от пути интегрирования тогда и
только тогда, когда в области
D
существует такая диффе-
ренцируемая функция
( )
yxU ,
, что подынтегральное выраже-
ние
( ) ( )
dyyxQdxyxP ,, +
является полным дифференциалом
этой функции, т.е.
( ) ( )
dyyxQdxyxPdU ,, +=
.
В этом случае:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
∫
=
∫
+
22
11
22
11
,
,
,
,
,,,
yx
yx
yx
yx
yxdUdyyxQdxyxP
( )
( )
( )
( ) ( )
1122
,
,
,,,
22
11
yxUyxUyxU
yx
yx
−==
.

Страницы