Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

71
Работа переменной силы
( ) ( )( )
yxQyxPF ,,,
по переме-
щению материальной точки по кривой
L
равна:
( ) ( )
∫
⋅=
∫
+=
LL
dFdyyxQdxyxPA ,,
,
где
jdyidxd ⋅+⋅=
. В этом состоит физический смысл КИ
2-го рода.
Другие применения КИ 2-го рода будут рассмотрены в гла-
ве 4.
2.9. Примеры решения задач
Пример 1. Найти работу силового поля
( )
jyxixyF ++=
по перемещению материальной точки по параболе
2
xy =
от
начала координат до точки
( )
1,1M
.
◄ Для нахождения работы используем формулу
( ) ( )
∫
+=
L
dyyxQdxyxPA ,,
, где
( ) ( )( )
yxQyxPF ,,,
. В данном
случае
yxxyF +,
, т.е.
( )
xyyxP =,
,
( )
yxyxQ +=,
.
Кривая
2
: xyL =
,
[ ] [ ]
1;0; =∈
MO
xxx
задана явно, поэто-
му
dxxdxydy 2=
′
=
. Тогда от КИ 2-го рода можно перейти к
определенному интегралу:
( )
( )( )
12
17
2
1
0
22
=
∫
⋅++⋅=
∫
++= dxxxxxxdyyxdxxyA
L
. ►
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиои-
дой
−=
−=
,2sinsin2
,2coscos2
:
tty
ttx
L
где
π
20 ≤≤ t
.
◄ Для нахождения площади воспользуемся формулой
∫
−=
L
dxydyxS
2
1
, при этом учтем, что кривая
L
задана пара-
метрически. Тогда:
( )
dtttdtydy 2cos2cos2 −=
′
=
и
( )
dtttdtxdx 2sin2sin2 +−=
′
=
. Преобразуем подынтеграль-
ное выражение:
( ) ( )
−−⋅−=− dtttttdxydyx 2cos2cos22coscos2

Страницы