Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

72
( ) ( ) ( )
dttdttttt cos162sin2sin22sinsin2 −=+−⋅−−
.
Найдем искомую площадь:
( )
π
π
6cos16
2
1
2
1
2
0
=
∫
−=
∫
−= dttdxydyxS
L
. ►
Пример 3. Найти объем тора, полученного вращением ок-
ружности
( )
12
2
2
=−+ yx
вокруг оси
OX
.
◄ Искомый объем найдем по формуле
∫
=
L
OX
dyxyV
π
2
.
Данную окружность удобнее задать параметрически:
( )
=−
=
⇒=
−+
,sin2
,cos
12
2
2
ty
tx
yx
π
20 ≤≤ t
.
Тогда искомый объем равен:
( ) ( )
2
2
0
4sin2sin2cos22
πππ
π
=
∫
′
+⋅+⋅=
∫
= dttttdyxyV
L
OX
. ►
Пример 4. Проверить, что КИ 2-го рода не зависит от пути
интегрирования, и вычислить его:
.
◄ В данном КИ
( )
22
63, xyxyxP +=
,
( )
32
46, yyxyxQ +=
.
Проверим выполнимость условий теоремы 4:
xy
x
y
QP
xyxyQ
xyyxP
′
=
′
⇒
=⋅=
′
=⋅=
′
1226
1226
,
т.е. заданный КИ 2-го рода не зависит от пути интегрирования.
1-й способ. Вычислим заданный КИ 2-го рода по отрезку
AB
, где
( )
1;1A
,
( )
0;2B
(рис. 6).
O
Y
X
1
1
A
B
2
C
Рис. 6

Страницы