Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

76
Явное задание поверхности
S
:
( )
yxzz ,=
,
( )
XY
Dyx ∈,
.
Если эта функция непрерывна вместе со своими частными про-
изводными
x
z
′
и
y
z
′
, ПИ 1-го рода сводится к ДИ так:
( ) ( )( ) ( )
( )
∫∫
′
+
′
+⋅=
∫∫
XY
D
yx
S
dydxzzyxzyxfdSzyxf
22
1,,,,,
,
где
( )
( )
22
1
yx
zzdS
′
+
′
+=
– дифференциал элемента площади.
Аналогичные формулы верны, если поверхность
S
задана
уравнением
( )
zxyy ,=
или
( )
zy
xx ,=
:
или
( ) ( )( )
( )
( )
∫∫
′
+
′
+⋅=
∫∫
YZ
D
zy
S
dzdyxxzyzyxfdSzyxf
22
1,,,,,
,
где
XZ
D
и
YZ
D
– проекции
S
на плоскости
XOZ
и
YOZ
со-
ответственно.
Параметрическое задание поверхности
S
:
( )
( )
( )
=
=
=
,,
,,
,,
vuzz
vuyy
vuxx
где
( )
vux ,
,
( )
vuy ,
,
( )
vuz ,
– непрерывно дифференцируемые
функции в области
G
плоскости
UOV
. Тогда:
( ) ( ) ( ) ( )( )
∫∫
−⋅⋅=
∫∫
GS
dvduBCAvuzvuyvuxfdSzyxf
2
,,,,,,,
,
где
222
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
u
z
u
y
u
x
A
,
222
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
v
z
v
y
v
x
C
,
v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
x
B
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
.
Иногда последнюю формулу записывают в векторном виде:
( ) ( ) ( ) ( )( )
∫∫
∂
∂
×
∂
∂
⋅=
∫∫
GS
dvdu
v
r
u
r
vuzvuyvuxfdSzyxf ,,,,,,,
,

Страницы