Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

91
.
∫∫
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
S
dzdx
x
R
z
P
dzdy
z
Q
y
R
dydx
y
P
x
Q
При этом интегрирование по кривой
L
производится в положи-
тельном направлении, т.е. при обходе границы
L
поверхность
S
остается все время слева.
Последняя формула носит название формулы Стокса
*
y
P
x
Q
∂
∂
=
∂
∂
. Из
нее следует, что если
,
z
Q
y
R
∂
∂
=
∂
∂
,
x
R
z
P
∂
∂
=
∂
∂
,
то
0=
∫
++
L
dzRdyQdxP
, т.е. КИ 2-го рода не зависит от пути
интегрирования.
Замечание 2. Можно заметить, что формула Грина является
частным случаем формулы Стокса для кривой, заданной на
плоскости
XOY
.
4.6. Приложения ПИ 2-го рода
Объем тела
V
, ограниченного замкнутой поверхностью
S
, можно найти по одной из следующих формул:
.
3
1
∫∫
∫∫∫∫∫∫
++=
====
S
SSS
dzdyxdzdxydydxz
dzdyxdzdxydydxzV
Другие применения ПИ 2-го рода будут рассмотрены в главе 4.
4.7. Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить интеграл
∫∫
+=
S
dydxzdzdxyI
2
по
внешней стороне параболоида
22
: yxzS +=
, расположенного
в 1-м октанте, отсеченного плоскостью
.
◄ В данном случае
( )
0,, =zyxP
,
( )
2
,, yzyxQ =
,
( )
zzyxR =,,
. Вычислим заданный интеграл двумя способами.
*
Д.Г. Стокс – английский физик и математик (1819-1903).

Страницы