Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

94
( )
=
≤≤
≤≤=
∫∫
−−=
2
223
0
202
π
ϕ
ρ
ПСК
XY
D
dydxyxy
( )
215
216
sin2
2
0
233
0
2
π
ρρρϕρϕ
π
−=
∫
⋅−
∫
= dd
. ►
Пример 2. Вычислить интеграл
( )
∫∫
+−−=
S
dydx
yzdzdxydzdyzyI
2222
2
по поверхности конуса
222
: yzxS =+
, отсекаемой плоскостя-
ми
0=y
и
1=y
(нормаль
n
образует тупой угол с ортом
j
).
◄ 1-й способ. Спроектируем заданную поверхность только
на плоскость
XOZ
(рис. 15).
n
X
Z
Y
1
1
1
D
xz
Рис. 15
Для нахождения нормали
n
зададим поверхность неявно
0:
222
=−+ yzxS
. Тогда
( )
zyxn 2;2;2 −=
, где знак «минус»
говорит о том, что угол
( )
OYn,∠=
β
тупой при
[ ]
1;0∈y
.
Можно найти единичный вектор нормали:
( )
( )
222222
0
;;
444
2;2;2
zyx
zyx
zyx
zyx
n
n
n
++
−
=
++
−
==
.
Учитывая, что
22
zyP −=
,
2
yQ −=
,
2
2yzR =
, находим
подынтегральное выражение:
( )
( )
=
++
⋅+−⋅−⋅−
=++
222
2222
2
coscoscos
zyx
zyzyyxzy
RQP
γβα

Страницы