Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11 Как находят максимальные напряжения при кручении стержня прямоугольного сечения?
12 Как вычисляют напряжения в пружинах?
13 Как определяют деформации пружин?
Тема 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Литература: [2, гл. 2]; [3, гл. 5]; [5, гл. 6]; [4, гл. 5, задачи: 1, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 20, 25].
В теории изгиба важную роль играют моменты инерции, поэтому этот вопрос рассматривают пред-
варительно в виде самостоятельной темы, перед изучением которой полезно по учебнику теоретической
механики повторить материал о статическом моменте и о нахождении центров тяжести плоских фигур.
При вычислении моментов инерции надо помнить, что они представляют собой интегралы типа
∫
dAz
2
(осевой момент инерции относительно оси y) или типа
∫
zydA (центробежный момент инерции относи-
тельно осей z и y). Необходимо запомнить, что теорема о параллельном переносе осей (
Aa
y
J
y
J
2
1
+= )
справедлива только в случае, если ось y проходит через центр тяжести фигуры. Если, например, извес-
тен момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, то нельзя с помо-
щью теоремы о переносе осей сразу найти момент инерции треугольника относительно оси, проходя-
щей через вершину параллельно основанию; сначала необходимо с помощью этой теоремы найти мо-
мент инерции относительно центральной оси, а затем определить момент инерции относительно оси,
проходящей через вершину. Формула переноса осей наглядно показывает, что наименьшим из момен-
тов инерции относительно нескольких параллельных осей является момент инерции относительно той
оси, которая проходит через центр тяжести.
Наименьшим из моментов инерции относительно центральных осей,
наклоненных под разными углами, является момент инерции относи-
тельно одной из главных центральных осей. Относительно другой глав-
ной оси, перпендикулярной первой, момент инерции имеет, наоборот,
наибольшее значение. Центробежный момент инерции относительно
главных осей равен нулю; при этом совсем не обязательно, чтобы глав-
ные оси проходили через центр тяжести, так как через любую точку,
лежащую в плоскости фигуры, можно провести такие две взаимно пер-
пендикулярные оси, относительно которых центробежный момент
инерции равен нулю.
В теории изгиба важную роль играют главные центральные оси, положение которых для несиммет-
ричных сечений определяют так:
1) сначала проводят случайные оси, вычисляют статические моменты относительно этих осей и на-
ходят положение центра тяжести сечения;
2) проводят через центр тяжести всего сечения оси, параллельные первоначально выбранным слу-
чайным осям, и находят с помощью теоремы о переносе осей центробежный и осевые моменты инерции
сечения относительно этих новых осей;
3) находят положение главных центральных осей u и v по формуле
zy
yz
JJ
J
−
=α
2
2tg
;
4) определяют значения главных центральных моментов инерции. Для проверки правильности вы-
числений
u
J и J
v
можно использовать равенства JJJJ
uv yz
+
=
+
и J
uv
=
0 . С помощью этих равенств
можно проверить вычисления только пп. 3 и 4; соблюдение этих равенств не гарантирует правильности
вычислений пп. 1 и 2.
Если сечение состоит из прокатных профилей, то необходимо при вычислениях пользоваться дан-
ными таблиц сортамента. При определении центробежного момента инерции уголка (равнобокого или
неравнобокого) не следует разбивать площадь этого уголка на два прямоугольника; сначала можно най-
ти центробежный момент инерции всего уголка относительно осей, проходящих через центр тяжести
параллельно полкам, с помощью формулы, в которой использованы обозначения таблиц сортамента:

Страницы