Строительная механика. Часть 1. Буланов В.Е - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

29
Принцип возможных перемещений
Рассмотрим систему в состоянии равновесия под действием задан-
ных сил. Возможными перемещениями называются ничтожно малые уп-
ругие перемещения, вызываемые какими-либо силами, температурой или
перемещениями опор, которые по своему характеру принимаются как
бесконечно малые. Когда система совершает возможные перемещения,
величина и направление внешних и внутренних сил, отвечающих её ис-
ходному состоянию, остаются неизменными, а поэтому их работа будет
без коэффициента 1/2.
Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)
Введём обозначение: ∆
mn
– перемещение в направлении силы «m»
от силы «n». Под перемещением будем понимать смещение и угол пово-
рота, а под силой – силу и момент. Рассмотрим два состояния (рис. 33),
для которых
W
11
= F
1
∆
11
/2, W
22
= F
2
∆
22
/2,
или
W
M dx
EI
N dx
EA
k
Q dx
GA
l
n
l
n
l
n
11
1
2
1
2
1
2
0
1
0
1
0
1
2 2 2
= + +
∫
∑
∫
∑
∫
∑
;
W
M dx
EI
N dx
EA
k
Q dx
GA
l
n
l
n
l
n
22
2
2
2
2
2
2
0
1
0
1
0
1
2 2 2
= + +
∫
∑
∫
∑
∫
∑
.
Приложим к балке последовательно сначала силу F
1
, а затем силу F
2
(рис. 33, а), тогда
W = W
11
+ W
12
+ W
22
= F
1
∆
11
/2 + F
1
∆
12
+ F
2
∆
22
/2. (7)
Приложим обе силы одновременно (рис. 34, б), в этом случае
W = F
1
(∆
11
+
∆
12
)/2 + F
2
(∆
22
+ ∆
21
)/2. (8)
Приравнивая выражения (7) и (8), получим теорему о взаимности
работ (теорему Бетти):
Рис.
33
Состояние I
F
1
F
2
∆
11
∆
12
∆
22
∆
21
Состояние II
а)
б)
F
1
F
1
∆
12
∆
11
Рис. 34
∆
21
∆
11
+ ∆
12
∆
22
∆
22
+ ∆
21
F
2
F
2

Страницы