Теория упругости и пластичности. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Корни кубического уравнения (3.3) выражаем через вспомогательный угол
ϕ
, определяемый из равенства
cos ϕ=
q
r
2
3
, где
rp= /3
. Получаем:
yr
1
2
3
=− cos ;
ϕ
yr
2
260
3
=−
cos ;
o
ϕ
yr
3
260
3
=+
cos
o
ϕ
. (3.5)
Проверка
yyy
123
0
+
+
= . (3.6)
Главные напряжения равны:
′
=+σ y
J
1
1
3
;
′′
=+σ y
J
2
1
3
;
′′′
=+σ y
J
3
1
3
. (3.7)
Этим трем главным напряжениям в дальнейшем присваиваем обозначения
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
, где σσσ
123
≥≥.
Контроль правильности решения кубического уравнения (3.1) проводим, используя инвариантность коэффициентов J
1
,
J
2
, J
3
:
J
1123
=
+
+
σ
σ
σ
; J
2122331
=
+
+
σ
σ
σ
σ
σσ; J
3123
=σ
σ
σ
. (3.8)
Для определения положения главных площадок вычисляем направляющие косинусы нормалей к главным площадкам l,
m , n . Соответствующую систему однородных уравнений
(
)
()
()
0
;0
;0
=σ−σ+τ+τ
=τ+σ−σ+τ
=τ+τ+σ−σ
nml
nml
nml
zzyzx
yzyyx
xzxyx
удобно представить в виде
()
()
()
. 0
;
;
=σ−σ+τ+τ
τ−=σ−σ+τ
τ−=τ+σ−σ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
n
m
n
l
n
m
n
l
n
m
n
l
(3.9)
В системе (3.9) из трех уравнений только два независимые, поэтому, определив
nl / и mn/ из решения двух
уравнений, третье уравнение используем для контроля найденных отношений
nl /
и
mn/ . Решение системы (3.9) в общем
виде
(
)
()
()
σ−σσ−σ−τ
ττ−τσ−σ
=
yxxy
yzxyxzy
n
l
2
,
(3.10)
(
)
()
()
σ−σσ−σ−τ
ττ−τσ−σ
=
yxxy
xzxyyzx
n
m
2
.
Вычислив nl / и mn/ , далее, из соотношения между квадратами направляющих косинусов
(
)
(
)
2
22
/11// nnmnl =++ (3.11)
находим два корня
±n . Для дальнейшего расчета достаточно оставить только один корень, например, +n . Соответствующие
знаки и величины
l и m определяем из отношений nl / и mn/ . Полученные l , m , n можно рассматривать как координаты
некоторой точки
А (рис. 3.2), лежащей на нормали
ν
к соответствующей главной площадке.
Если направляющие косинусы нормали ν
1
к площадке главного напряжения
σ
1
обозначить через
1
l , m
1
, n
1
, а
нормалей
ν
2
, ν
3
– соответственно через
2
l , m
2
, n
2
и
3
l , m
3
, n
3
, то из условия взаимной перпендикулярности нормалей к
главным площадкам получим три контрольных равенства:
. 0
;0
;0
131313
323232
212121
=++
=++
=++
nnmmll
nnmmll
nnmmll
(3.12)

Страницы