Теория упругости и пластичности. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3. Для напряженного состояния в точке тела (рис. 3.1) задано шесть компонентов:
σ
x
=
−
50 МПа ;
σ
y
= 70 МПа ;
σ
z
= 100 МПа ;
τ
xy
=−80 МПа ; τ
yz
=
−
60 МПа ; 100
=
τ
zx
МПа. Требуется определить значения главных
напряжений и положения главных площадок.
Р е ш е н и е.
1 Определение значений главных напряжений. Согласно (3.2), имеем:
J
1
50 70 100 120=− +
+
= ; ;50021100608050100100707050
222
2
−=−−−⋅−⋅+⋅−=J
00055080100100706050100608021007050
222
3
−=⋅−⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−=J .
По формулам (3.4) получаем:
;30026120
3
1
50021
2
−=−−=p
;00043800055050021120
3
1
120
27
2
3
−=+⋅−−=q
6305,933/30026 −==r ;
()
;266804,0
6305,932
000438
cos
3
=
−⋅
−
=ϕ ϕ=74 5258,
o
.
Используя (3,5), находим корни уравнения (3.3):
(
)
(
)
;934,1693/5258,74cos6305,932
1
=
−
−=y
()
(
)
;098,1533/5258,7460cos6305,932
2
−
=
−
−=y
()
(
)
835,163/5258,7460cos6305,932
3
−
=
+
−=y .
Проверка значений корней по (3.6)
169934 153098 16835 0001 0,,,,−−=≈
.
Вычисляем главные напряжения:
′
=+=σ 169 934 120 3 209 934,/, ;
′′
=
−
+
=
−
σ 153 098 120 3 113 098,/, ;
′′′
=− + =σ 16 835 120 3 23 165,/,
.
Принимаем:
σ
1
209 934= , lo= ; σ
2
23 165= , lo= ; σ
3
113 098=− , lo=.
Проверка главных напряжений по (3.8):
209 934 23 165 113 098 120 001,, , ,+− = ≈120 ;
; 500219,49921934,209098,113098,113165,23165,23934,209
−
≈
−
=
⋅
−
⋅−
⋅
0005503,009550098,113165,23934,209
−
≈
−
=
⋅
⋅− .
2 Определение положений главных площадок.
Находим положение главной площадки, по которой действует напряжение
σ
1
209 934= , lo=. В (3.10) подставляем
σ=209 934, lo=:
()
()()
627,0
934,2090,70934,2090,500,80
0,600,800,100934,2090,70
2
1
1
=
−−−−
⋅−−
=
n
l
;
(
)
(
)
(
)
(
)
m
n
1
1
2
500 209934 600 1000 800
80 0 50 0 209 934 70 0 209 934
0 78723=
−− ⋅− + ⋅
−− − −
=−
,, , ,,
,,,,,
, .
Проверка по третьему уравнению системы (3.9):
)
100 0 0 627 60 0 0 78723 100 0 209 934 109 934 109 934 0,, ,, , , , ,⋅+⋅+− =−=.
Из уравнения (3.11) находим n
1
:
Рис. 3.2
ν
z
x
y
O
A
l
m
n

Страницы