Теория упругости и пластичности. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В первом способе основными неизвестными являются напряжения
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
,
τ
τ
xy yx
=
, ττ
yz zy
= ,
τ
τ
zx xz
=
. Для их
нахождения располагаем тремя дифференциальными уравнениями равновесия Навье и шестью уравнениями неразрывности
деформаций, выраженными в напряжениях, Бельтрами-Митчелла. При интегрировании уравнений появятся произвольные
функции от координат, которые можно определить из условий на поверхности тела, выраженных в напряжениях. Во втором
способе основными неизвестными являются перемещения u, v и w. Для их определения располагаем тремя
дифференциальными уравнениями равновесия, выраженными через перемещения, Ляме. Произвольные функции от
координат могут быть найдены из условий на поверхности тела, выраженные через перемещения.
Согласно теореме об однозначности решения уравнений теории упругости следует, что заданной нагрузке
соответствует лишь единственное решение этих уравнений.
Вопросы для самопроверки
1 Каким комплексом уравнений мы располагаем для определения неизвестных компонентов напряжений, деформаций
и перемещений в точке тела?
2 Какие задачи теории упругости называются простейшими? Приведите примеры простейших задач.
3 Сформулируйте принцип Сен-Венана и приведите примеры его применения.
4 Укажите три типа граничных условий на поверхности тела.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 14.01 – 14.08]; [2, §§ 21.1, 21.2]; [6, гл. 3, § 4, гл. 9, § 1]; [7, §§ 10, 11, 44, 45, 48, 49]; [9, §§ 90
– 93, прил. 1 – 5, 10].
Решение многих задач теории упругости удается выполнить лишь с помощью приближенных методов, в ряду которых
важное значение имеют вариационные. Основная задача вариационного исчисления – определение экстремума заданного
функционала. Понятие о функционале можно получить, рассмотрев задачу, решенную Лейбницем, Лопиталем, Ньютоном и
Бернулли независимо друг от друга в конце XVII века. Материальная точка под действием силы тяжести скатывается без
трения от точки А до точки В по некоторой кривой y(x). Требуется выбрать такое очертание y(x), чтобы падение произошло в
минимальный промежуток времени t. Время t в этой задаче выполняет роль функционала, следовательно, аргументом
функционала t здесь является функция y(x). Вариацией функционаланазывается бесконечно малое его приращение,
соответствующее бесконечно малому изменению функции. Можно установить аналогию между понятиями дифференциала
функции и вариацией функционала . В задачах теории упругости полная энергия тела может рассматриваться как
функционал
(
)
wvu ,,ЭЭ
=
.
При вариациях функций u, v, w (малых отклонениях, согласованных со связями) изменяется величина функционала.
Согласно принципу Лагранжа, если деформируемая система находится в равновесии под действием приложенных к ней
внешних сил, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ ее внешних и внутренних
сил равна нулю.
Принцип Лагранжа основан на вариации перемещений, между тем как вариационный принцип Кастильяно основан на вариации
напряжений.
Вариационный метод Ритца вытекает из принципа Лагранжа. Согласно этому методу перемещения предполагают
состоящими из функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям.
Одним из наиболее эффективных приближенных методов решения задач строительной механики и теории упругости
является метод конечных элементов. Сплошная среда тела разбивается на некоторое количество конечных элементов: в
плоской задаче – на треугольники и прямоугольники; в пространственной задаче – на тетраэдры, прямоугольные призмы и
др. Внутри каждого элемента выбирают некоторые функции, однозначно определяющие перемещения точек элемента через
перемещения его узловых точек. Последние являются основными неизвестными. Определяют узловые силы,
уравновешивающие действующие на элементы нагрузки. После этого обычными приемами строительной механики
исследуют поведение тела в целом. Установлена эквивалентность метода конечных элементов методу минимизации
функционала энергии по узловым перемещениям; метод конечных элементов рассматривается тогда как вариант метода
Ритца.
Т е м а 3
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 8.01 – 8.07, 11.01 – 11.05, 11.13, 14.01 – 14.08]; [2, §§ 17.1 – 17.4]; [6, гл. 6, §§ 1 – 9]; [7, §§ 17 –
24, 48, 49]; [9, §§ 8 – 11, 14 – 24, 120 – 124, прил. 1 – 8].
В практических приложениях часто встречаются задачи, в которых можно отбросить одну из осей координат, например
ось Oz, и рассматривать явление как бы происходящим в одной плоскости Oxy, т.е. рассматривать плоскую задачу.
Необходимо отчетливо представить себе, проанализировав ряд примеров инженерных сооружений, два вида плоской
задачи: плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние. Для плоской деформации
ε
z
=
0 ,
σ
z
≠
0 ; для
обобщенного плоского напряженного состояния
σ
z
=
0
,
ε
z
≠
0
.
Для обоих видов плоской задачи имеют силу одни и те же дифференциальные уравнения равновесия, соотношения
Коши и уравнения неразрывности деформаций; из шести уравнений неразрывности остается всего лишь одно; различен
только вид физических уравнений (уравнений закона Гука).

Страницы