Теория упругости и пластичности. Учебно-методическое пособие. Буланов В.Е - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При решении задачи в напряжениях три неизвестных напряжения
σ
x
,
σ
y
и τ
xy
находим с помощью двух
дифференциальных уравнений равновесия и одного уравнения неразрывности деформаций.
При решении задачи в перемещениях два неизвестных перемещения
u и v находим с помощью двух дифференциальных
уравнений равновесия в перемещениях.
Дальнейшего облегчения решения задачи достигаем введением так называемой функции напряжений, или функции Эри
()
φ xy, . Эта функция ("разрешающая функция") должна удовлетворять бигармоническому уравнению плоской задачи теории
упругости. Напряжения σ
x
, σ
y
и τ
xy
получаем, дифференцируя эту функцию. Решение плоской задачи в случае, если
объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела, сводится к нахождению функции
(
)
φ xy, ,
которая удовлетворяла бы бигармоническому уравнению и условиям на поверхности.
Для определения вида
()
φ xy, полезно рассмотреть сначала ряд простейших функций и установить, какую задачу
каждая из них решает. Если контур имеет вид прямоугольника, а условия на контуре могут быть представлены целыми
алгебраическими функциями, то функцию напряжений можно задать в виде полинома. Следует рассмотреть ряд задач:
а) чистый изгиб балки;
б) изгиб консольной балки силой, приложенной на конце балки;
в) изгиб опертой по концам балки под действием равномерно распределенной нагрузки;
г) треугольную подпорную стенку.
Если нагрузка не является непрерывной и закон ее распределения не может быть представлен целой алгебраической
функцией, то решение можно найти при помощи тригонометрических рядов. Следует также рассмотреть расчет балки-
стенки. Необходимо познакомиться с решением плоской задачи методами конечных разностей и конечных элементов.
Вопросы для самопроверки
1 Какая разница между плоской деформацией и обобщенным плоским напряженным состоянием? Напишите основные
уравнения для обоих видов плоской задачи.
2
Какая функция называется бигармонической?
3
Чему равна наивысшая степень полинома, при которой тождественно удовлетворяется бигармоническое уравнение
плоской задачи?
4
Полиному какой степени соответствует однородное напряженное состояние?
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 9.01 – 10.06, 11.06 – 11.13, 12.02, 12.04, 12.05]; [2, гл. 18]; [6, гл. 6, §§ 1 – 13]; [7, §§ 25 – 27]; [9, §§ 27 –
30, 33, 36 – 39, 41 – 42, 140 – 142].
При выводе основных уравнений обратите внимание на все особенности, вызываемых новой системой координат. В
практических задачах часто встречаются такие случаи, когда распределение напряжений симметрично относительно оси,
перпендикулярной плоскости деформации; в этих случаях компоненты напряжений не зависят от полярного угла
θ
, а
зависят лишь от радиуса. Возникают только нормальные напряжения
σ
r
и
σ
θ
, а касательные напряжения вследствие
симметрии обращаются в нуль. К задачам такого рода относятся:
а) расчет толстостенной трубы, находящейся под равномерным давлением (задачи Ляме и Гадолина);
б) чистый изгиб кривого бруса (задача Головина);
в) расчет клина.
В этих задачах совершенно исключаются возможности применения элементарных решений сопротивления материалов.
Внимательно разберите рассмотренные задачи, самостоятельно производя все выводы.
Большое практическое применение в теории оснований и фундаментов имеют задачи о действии сосредоточенной
силы, приложенной к границе полуплоскости и к границе полупространства (задача Буссинеска).
Т е м а 4
ИЗГИБ ПЛАСТИНОК
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Л и т е р а т у р а: [1, §§ 15.01 – 15.11, 15.14 – 15.19, 18.11]; [2, §§ 20.1 – 20.10]; [6, гл. 8, §§ 1 – 10]; [7, §§ 28 – 34, 36 – 39];
[9, §§ 102, 103].
Дифференциальное уравнение изгиба пластинки представляет собой распространение дифференциального уравнения изгиба
балки на пластинку. В пластинке кроме изгиба в продольном направлении учитывают еще изгиб в поперечном направлении и
кручение.
Решение задачи об изгибе пластинки заключается в нахождении выражения прогиба
()
yxw , , которое удовлетворяло бы
основному уравнению изгиба пластинки и условиям на опорном контуре. Используя выражение прогиба, находят затем
изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы, а по ним – напряжения. Для прямоугольной пластинки решение
основного дифференциального уравнения в замкнутой форме получить не удается, приходится его искать в виде
бесконечного ряда.
Навье предложил решение в двойных тригонометрических рядах для прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по
краям. Более общим является решение Мориса Леви. Оно пригодно для прямоугольной пластинки, два противоположных
края которой шарнирно оперты, а два других имеют любые граничные условия.
Вопросы для самопроверки

Страницы