Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ки, 5 разных блюдец и 6 разных чайных ложек. Сколькими способами
они могут накрыть стол для чаепития (каждый студент получает одну
чашку , одно блюдце и одну ложку )?
Ответ : 172800.
Сочетания без повторений и с повторениями
Сочетаниями без повторений из п элементов по к называются не-
упорядоченные k-выборки из п элементов без повторений. Их число обо -
значается
k
n
C
и вычисляется по формуле
k
n
C
=
k)!-(nk!
!n
, k
≤
n (5)
Сочетания из n по k без повторений образуют k-элементарные под -
множества исходного множества мощности n. Числа
k
n
C
называются би -
номиальными коэффициентами.
Пример 11. Сколькими способами можно выбрать три различные
краски из имеющихся пяти?
Решение. Очевидно, что нужно подсчитать число З-выборок из 5
элементов, причем по условию задачи понятно, что среди выбранных эле-
ментов не должно быть одинаковых и что порядок расположения выбран-
ных красок не существенен . Значит , нужно найти число неупорядоченных
выборок, т.е. число сочетаний без повторений из 5 по 3. По формуле (5)
имеем :
3
5
С
=
)!35(!3
!5
−
= 5
×
!
2
4
= 10.
Сочетаниями с повторениями из п элементов по к называются не-
упорядоченные k-выборки из п элементов с повторениями. Их число обо -
значается
k
n
H
и вычисляется по формуле
k
n
H
=
k
kn
C
1 −+
=
)!1(!
)!1(
−
−
+
nk
kn
, Nkn
∈
∀
, (6)
Пример 12. В киоске имеются открытки 10 видов. Сколькими спосо-
бами можно купить: а ) 5 открыток? б) 5 разных открыток? в) 15 открыток с
повторениями?
Решение. В случаях а ) и в) нас интересуют неупорядоченные выбор-
ки из 10 элементов с повторениями длины 5 и 15 соответственно. Их число
определяется по формуле (6): 
  ки, 5 разных блюдец и 6 разных чайных ложек. Сколькими способами
  они могут накрыть стол для чаепития (каждый студент получает одну
  чашку, одно блюдце и одну ложку)?
                                                             Ответ: 172800.


                    Сочетания без повторений и с повторениями

     Сочетаниями без повторений из п элементов по к называются не-
упорядоченные k-выборки из п элементов без повторений. Их число обо-
            k
значается C n и вычисляется по формуле
                                     Cnk =      n!
                                                        , k ≤n                                  (5)
                                             k!(n - k)!
     Сочетания из n по k без повторений образуют k-элементарные под-
множества исходного множества мощности n. Числа                         Cnk   называются би-
номиальными коэффициентами.

     Пример 11. Сколькими способами можно выбрать три различные
краски из имеющихся пяти?
     Решение. Очевидно, что нужно подсчитать число З-выборок из 5
элементов, причем по условию задачи понятно, что среди выбранных эле-
ментов не должно быть одинаковых и что порядок расположения выбран-
ных красок не существенен. Значит, нужно найти число неупорядоченных
выборок, т.е. число сочетаний без повторений из 5 по 3. По формуле (5)
имеем:
                             С53 =       5!         4
                                               = 5 × = 10.
                                     3!(5 −3)!      2!

     Сочетаниями с повторениями из п элементов по к называются не-
упорядоченные k-выборки из п элементов с повторениями. Их число обо-
значается   Hnk и вычисляется по формуле
                         H nk = Cnk+k−1 = ( n +k −1)! ,      ∀n, k ∈N                          (6)
                                               k !( n −1)!

      Пример 12. В киоске имеются открытки 10 видов. Сколькими спосо-
бами можно купить: а) 5 открыток? б) 5 разных открыток? в) 15 открыток с
повторениями?
      Решение. В случаях а) и в) нас интересуют неупорядоченные выбор-
ки из 10 элементов с повторениями длины 5 и 15 соответственно. Их число
определяется по формуле (6):

Страницы