ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34
рактера) выборок – упорядоченные это выборки или нет, с повторениями
или без повторений.
Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены осо-
бые названия – размещения, сочетания и перестановки.
Размещения без повторений и с повторениями
Размещениями без повторений из п элементов по k называются
упорядоченные k-выборки из п элементов без повторений. Их число
обозначается
k
n
A
и вычисляется по формуле :
k
n
A
= n
´
(n – 1)
´
(n – 2)
´
…
´
(n – k + 1) =
)!(
!
kn
n
-
, k
£
n. (2)
Обычно размещения без повторений из n элементов по n называются
перестановками из n элементов. Их число обозначается P
n
и вычисляется
по формуле:
P
n
=
n
n
A
= n! (3)
Пример 7. Сколькими способами можно составить трехцветный по-
лосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов?
Решение. Нужно найти число 3-выборок из 5 элементов без повто-
рений (все цвета различны); порядок, в котором располагаются выбранные
цвета, существенен. Следовательно, нужно найти число упорядоченных
выборок, т.е. число размещений из 5 по 3 без повторений. По формуле
(2) имеем
3
5
A
=
)!35(
!5
-
= 5
´
4
´
3 = 60 (способов).
Заметим, что эту задачу можно решить иначе. Для выбора цвета пер-
вой полосы имеется 5 вариантов. После произведенного выбора цвет для
второй полосы можно выбрать 4-мя способами из 4-х оставшихся. Далее
выбираем цвет для третьей полосы флага из имеющихся 3-х цветов. Это
можно сделать 3-мя способами. По правилу произведения всего имеем
5
´
4
´
3 = 60 (способов).
Пример 8. Та же задача из примера 7, но среди полос одна обяза-
тельно должна быть красной.
Решение. Красную полосу можно расположить 3-мя способами, т. к.
флаг трехполосный. После выбора красной полосы, остался материал 4-х
цветов, из которых нужно выбрать два цвета. Этот выбор можно осуществить
2
4
A
=
!
2
!4
= 4
´
3 = 12 (способами) , так как 2-выборки упорядоченные
без повторений. По правилу произведения окончательно имеем 3
´
2
4
A
= 36
(способов).
рактера) выборок – упорядоченные это выборки или нет, с повторениями или без повторений. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены осо- бые названия – размещения, сочетания и перестановки. Размещения без повторений и с повторениями Размещениями без повторений из п элементов по k называются упорядоченные k-выборки из п элементов без повторений. Их число обозначается A nk и вычисляется по формуле : A nk = n � (n – 1) � (n – 2) � … � (n – k + 1) = n! , k � n. (2) (n � k )! Обычно размещения без повторений из n элементов по n называются перестановками из n элементов. Их число обозначается Pn и вычисляется по формуле: Pn = Ann = n! (3) Пример 7. Сколькими способами можно составить трехцветный по- лосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? Решение. Нужно найти число 3-выборок из 5 элементов без повто- рений (все цвета различны); порядок, в котором располагаются выбранные цвета, существенен. Следовательно, нужно найти число упорядоченных выборок, т.е. число размещений из 5 по 3 без повторений. По формуле (2) имеем A53 = 5! = 5 � 4 � 3 = 60 (способов). (5 � 3)! Заметим, что эту задачу можно решить иначе. Для выбора цвета пер- вой полосы имеется 5 вариантов. После произведенного выбора цвет для второй полосы можно выбрать 4-мя способами из 4-х оставшихся. Далее выбираем цвет для третьей полосы флага из имеющихся 3-х цветов. Это можно сделать 3-мя способами. По правилу произведения всего имеем 5 � 4 � 3 = 60 (способов). Пример 8. Та же задача из примера 7, но среди полос одна обяза- тельно должна быть красной. Решение. Красную полосу можно расположить 3-мя способами, т. к. флаг трехполосный. После выбора красной полосы, остался материал 4-х цветов, из которых нужно выбрать два цвета. Этот выбор можно осуществить 4! A42 = = 4 � 3 = 12 (способами) , так как 2-выборки упорядоченные 2! 2 без повторений. По правилу произведения окончательно имеем 3 � A4 = 36 (способов). 34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »