ВУЗ:
Составители:
Общие методические указания
1.В пособии представлен пример решения типовой крае-
вой задачи для уравнения Лапласа методом конечных разно-
стей (МКР), в конце даны задания для самостоятельного ре-
шения.
2. Расчетная схема области, в которой ищется решение
T(x,y) задачи Дирихле, приведена на рис.1. Выражения для
функции T(x,y) на границах этой области выбираются из таб-
лицы 1 согласно
шифру, который сообщается студенту препо-
давателем.
Замечание.
Для студента-заочника две последние цифры
номера зачетной книжки являются шифром. Если две послед-
ние цифры номера превышают число 30, то шифром является
число с отброшенной первой цифрой.
3.Выполненная и оформленная работа должна быть за-
щищена в установленные сроки. Если работа не была зачтена,
то необходимо исправить в ней все ошибки
в соответствии с
указаниями рецензента. Исправления делаются на отдельных
листах и вклеиваются в соответствующее место в тетради.
4.При выполнении работы необходимо:
а) тщательно изучить теоретический материал с использо-
ванием рекомендуемой литературы [1-5], составить конспект
и разобрать пример решения типовой задачи;
б) перед решением задачи изобразить заданную расчетную
схему в масштабе
согласно своему варианту;
в) решение задачи рекомендуется проводить в общем виде,
подставляя числовые значения величин в конечные буквенные
выражения;
г) эпюры строить при различных фиксированных значени-
ях координаты y
j
по ширине рассматриваемой области с ука-
занием характерных значений решения задачи;
Метод конечных разностей
Уравнение Лапласа
Пусть в некоторой области D на плоскости необходимо
найти непрерывную функцию Т=Т(x,y), которая удовлетворяет
уравнению Лапласа
)1(0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
x
T
x
T
и принимает на границе Г области заданные значения
)()y,x(Т
Г
2
ϕ
=
Такая задача является классической и известна под назва-
нием задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Граница Г в общем случае может быть криволинейной, од-
нако в дальнейшем будем рассматривать области, границы кото-
рых составлены из отрезков прямых, параллельных осям коорди-
нат х и у. Это позволит не-
сколько упростить изложе-
ние
основных положений
метода конечных разно-
стей.
Рассмотрим, в част-
ности, в качестве области D
прямоугольник со сторо-
нами a и b (рис. 1). Отме-
тим, что переход от такой
области к произвольной об-
ласти с границами, парал-
лельными осями координат,
не вызывает особых за-
труднений.
Разделим стороны а и b прямоугольника на n и m равных
отрезков соответственно
: длина отрезка по оси ОХ равна h=a/n , а
по оси OY– k=b/m. Проведем через концы этих отрезков два се-
мейства прямых линий, параллельных осям координат х и у (см.
рис. 1). Таким образом, заданная область
D={0≤ х ≤ a; 0 ≤ у≤b}
покрывается прямоугольной сеткой с (n+1)×(m+1) узлами:
Рис. 1.
h
x
n
k
a
b
m
y
0
1
1
2
2
3
Общие методические указания Метод конечных разностей
1.В пособии представлен пример решения типовой крае- Уравнение Лапласа
вой задачи для уравнения Лапласа методом конечных разно- Пусть в некоторой области D на плоскости необходимо
стей (МКР), в конце даны задания для самостоятельного ре- найти непрерывную функцию Т=Т(x,y), которая удовлетворяет
шения. уравнению Лапласа
2. Расчетная схема области, в которой ищется решение
∂ 2T ∂ 2T
T(x,y) задачи Дирихле, приведена на рис.1. Выражения для + = 0 (1 )
функции T(x,y) на границах этой области выбираются из таб- ∂x 2 ∂x 2
лицы 1 согласно шифру, который сообщается студенту препо- и принимает на границе Г области заданные значения
давателем. Т Г = ϕ( x , y ) (2)
Замечание. Для студента-заочника две последние цифры Такая задача является классической и известна под назва-
номера зачетной книжки являются шифром. Если две послед- нием задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
ние цифры номера превышают число 30, то шифром является Граница Г в общем случае может быть криволинейной, од-
число с отброшенной первой цифрой. нако в дальнейшем будем рассматривать области, границы кото-
3.Выполненная и оформленная работа должна быть за- рых составлены из отрезков прямых, параллельных осям коорди-
щищена в установленные сроки. Если работа не была зачтена, нат х и у. Это позволит не-
то необходимо исправить в ней все ошибки в соответствии с y сколько упростить изложе-
указаниями рецензента. Исправления делаются на отдельных ние основных положений
листах и вклеиваются в соответствующее место в тетради. m метода конечных разно-
4.При выполнении работы необходимо: стей.
а) тщательно изучить теоретический материал с использо- Рассмотрим, в част-
k
ванием рекомендуемой литературы [1-5], составить конспект ности, в качестве области D
b
и разобрать пример решения типовой задачи; 2 прямоугольник со сторо-
б) перед решением задачи изобразить заданную расчетную 1 нами a и b (рис. 1). Отме-
схему в масштабе согласно своему варианту; x тим, что переход от такой
в) решение задачи рекомендуется проводить в общем виде, 0 1 2 3 h n области к произвольной об-
подставляя числовые значения величин в конечные буквенные a ласти с границами, парал-
выражения; лельными осями координат,
г) эпюры строить при различных фиксированных значени- Рис. 1. не вызывает особых за-
ях координаты yj по ширине рассматриваемой области с ука- труднений.
занием характерных значений решения задачи; Разделим стороны а и b прямоугольника на n и m равных
отрезков соответственно: длина отрезка по оси ОХ равна h=a/n , а
по оси OY– k=b/m. Проведем через концы этих отрезков два се-
мейства прямых линий, параллельных осям координат х и у (см.
рис. 1). Таким образом, заданная область
D={0≤ х ≤ a; 0 ≤ у≤b}
покрывается прямоугольной сеткой с (n+1)×(m+1) узлами:
