Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей. Методические указания для выполнения лабораторно-практической работы. Бундаев В.В - 2 стр.

UptoLike

Общие методические указания
1.В пособии представлен пример решения типовой крае-
вой задачи для уравнения Лапласа методом конечных разно-
стей (МКР), в конце даны задания для самостоятельного ре-
шения.
2. Расчетная схема области, в которой ищется решение
T(x,y) задачи Дирихле, приведена на рис.1. Выражения для
функции T(x,y) на границах этой области выбираются из таб-
лицы 1 согласно
шифру, который сообщается студенту препо-
давателем.
Замечание.
Для студента-заочника две последние цифры
номера зачетной книжки являются шифром. Если две послед-
ние цифры номера превышают число 30, то шифром является
число с отброшенной первой цифрой.
3.Выполненная и оформленная работа должна быть за-
щищена в установленные сроки. Если работа не была зачтена,
то необходимо исправить в ней все ошибки
в соответствии с
указаниями рецензента. Исправления делаются на отдельных
листах и вклеиваются в соответствующее место в тетради.
4.При выполнении работы необходимо:
а) тщательно изучить теоретический материал с использо-
ванием рекомендуемой литературы [1-5], составить конспект
и разобрать пример решения типовой задачи;
б) перед решением задачи изобразить заданную расчетную
схему в масштабе
согласно своему варианту;
в) решение задачи рекомендуется проводить в общем виде,
подставляя числовые значения величин в конечные буквенные
выражения;
г) эпюры строить при различных фиксированных значени-
ях координаты y
j
по ширине рассматриваемой области с ука-
занием характерных значений решения задачи;
Метод конечных разностей
Уравнение Лапласа
Пусть в некоторой области D на плоскости необходимо
найти непрерывную функцию Т=Т(x,y), которая удовлетворяет
уравнению Лапласа
)1(0
2
2
2
2
=
+
x
T
x
T
и принимает на границе Г области заданные значения
)()y,x(Т
Г
2
ϕ
=
Такая задача является классической и известна под назва-
нием задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Граница Г в общем случае может быть криволинейной, од-
нако в дальнейшем будем рассматривать области, границы кото-
рых составлены из отрезков прямых, параллельных осям коорди-
нат х и у. Это позволит не-
сколько упростить изложе-
ние
основных положений
метода конечных разно-
стей.
Рассмотрим, в част-
ности, в качестве области D
прямоугольник со сторо-
нами a и b (рис. 1). Отме-
тим, что переход от такой
области к произвольной об-
ласти с границами, парал-
лельными осями координат,
не вызывает особых за-
труднений.
Разделим стороны а и b прямоугольника на n и m равных
отрезков соответственно
: длина отрезка по оси ОХ равна h=a/n , а
по оси OY– k=b/m. Проведем через концы этих отрезков два се-
мейства прямых линий, параллельных осям координат х и у (см.
рис. 1). Таким образом, заданная область
D={0 х a; 0 уb}
покрывается прямоугольной сеткой с (n+1)×(m+1) узлами:
Рис. 1.
h
x
n
k
a
b
m
y
0
1
1
2
2
3
         Общие методические указания                           Метод конечных разностей
     1.В пособии представлен пример решения типовой крае-      Уравнение Лапласа
вой задачи для уравнения Лапласа методом конечных разно-          Пусть в некоторой области D на плоскости необходимо
стей (МКР), в конце даны задания для самостоятельного ре-    найти непрерывную функцию Т=Т(x,y), которая удовлетворяет
шения.                                                       уравнению Лапласа
     2. Расчетная схема области, в которой ищется решение
                                                                                   ∂ 2T   ∂ 2T
T(x,y) задачи Дирихле, приведена на рис.1. Выражения для                                +      = 0          (1 )
функции T(x,y) на границах этой области выбираются из таб-                         ∂x 2   ∂x 2
лицы 1 согласно шифру, который сообщается студенту препо-    и принимает на границе Г области заданные значения
давателем.                                                                         Т Г = ϕ( x , y )        (2)
   Замечание. Для студента-заочника две последние цифры             Такая задача является классической и известна под назва-
номера зачетной книжки являются шифром. Если две послед-     нием задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
ние цифры номера превышают число 30, то шифром является             Граница Г в общем случае может быть криволинейной, од-
число с отброшенной первой цифрой.                           нако в дальнейшем будем рассматривать области, границы кото-
     3.Выполненная и оформленная работа должна быть за-      рых составлены из отрезков прямых, параллельных осям коорди-
щищена в установленные сроки. Если работа не была зачтена,                                        нат х и у. Это позволит не-
то необходимо исправить в ней все ошибки в соответствии с                y                        сколько упростить изложе-
указаниями рецензента. Исправления делаются на отдельных                                          ние основных положений
листах и вклеиваются в соответствующее место в тетради.               m                           метода конечных разно-
     4.При выполнении работы необходимо:                                                          стей.
   а) тщательно изучить теоретический материал с использо-                                              Рассмотрим, в част-
                                                                      k
ванием рекомендуемой литературы [1-5], составить конспект                                         ности, в качестве области D
                                                                  b
и разобрать пример решения типовой задачи;                             2                          прямоугольник со сторо-
   б) перед решением задачи изобразить заданную расчетную              1                          нами a и b (рис. 1). Отме-
схему в масштабе согласно своему варианту;                                                    x   тим, что переход от такой
   в) решение задачи рекомендуется проводить в общем виде,             0 1 2 3       h     n      области к произвольной об-
подставляя числовые значения величин в конечные буквенные                      a                  ласти с границами, парал-
выражения;                                                                                        лельными осями координат,
   г) эпюры строить при различных фиксированных значени-                    Рис. 1.               не вызывает особых за-
ях координаты yj по ширине рассматриваемой области с ука-                                         труднений.
занием характерных значений решения задачи;                         Разделим стороны а и b прямоугольника на n и m равных
                                                             отрезков соответственно: длина отрезка по оси ОХ равна h=a/n , а
                                                             по оси OY– k=b/m. Проведем через концы этих отрезков два се-
                                                             мейства прямых линий, параллельных осям координат х и у (см.
                                                             рис. 1). Таким образом, заданная область
                                                                                       D={0≤ х ≤ a; 0 ≤ у≤b}
                                                                покрывается прямоугольной сеткой с (n+1)×(m+1) узлами: