ВУЗ:
Составители:
,0=
k
T+2T-T
+
h
T+2T-T
2
1-j,iji,1+j,i
2
j,1-iji,j,1+i
i=1,2,3,…,n-1; j=1,2,3,…,m-1.
Если ввести обозначение σ = к/h, то эти уравнения примут
вид
.0)2(1-T
,
2
1-,1ji,,1-
2
,1
2
=++++
++ jijijiji
TTTT
σσσ
При σ = 1, т.е. при одинаковых шагах разбиения вдоль осей
ОХ и ОУ (h=k), получим
(6))/4T(
1-ji,1,,1-,1,
++
+
=
++ jijijiji
TTTT
i=1,2,3,…,n-1; j=1,2,3,…,m-1.
Эти соотношения означают, что значение функции Т(х,у) в узле
i,j сетки равно среднему арифметическому значений этой же
функции в четырех соседних с ним узлах (рис. 3).
Таким образом, получена система (6), состоящая из (n-1)×(m-1)
линейных алгебраических уравнений относительно (n+1)×(m+1)
неизвестных Ti,j. сключая из этой системы с помощью гранич-
ных условий (3) 2(m+n) неизвестные,
получим (m-1)×(n-1) урав-
нений с соответствующим числом неизвестных.
Отметим, что окончательная система линейных уравнений
обладает следующими свойствами:
а) подавляющая часть коэффициентов этой системы равна
нулю;
б) в каждом уравнении один из
коэффициентов равен +4. Если в
уравнении имеются пять коэффици-
ентов, отличных от нуля, то сумма
остальных четырёх коэффициентов
равна –4; если же
количество ненуле-
вых коэффициентов меньше пяти, то
сумма остальных равна –2 или –3.
Таким образом, в матрице Т системы имеет место диаго-
нальное преобладание элементов
,1,...,2,1;1,...2,1; −=−=≥
∑
≠
mjniTT
ji
ijii
(7)
то есть выполнены достаточные условия сходимости итерацион-
ного метода Зейделя, если хотя бы одно из неравенств (7) являет-
ся строгим [1]. Первое же из приведенных свойств указывает на
то, что применение метода исключения Гаусса является целесо-
образным, так как исходная система после прямого хода этого
метода превратится в систему с полной треугольной
матрицей.
Блок-схема алгоритма решения рассматриваемой разност-
ной задачи методом Зейделя приведена на рис. 4. В соответст-
вующей программе необходимо предусмотреть двумерный мас-
сив, состоящий из m строк n столбцов, для значений температуры
в узлах сетки. В строках 0 и m, а также в столбцах 0 и n нужно за-
дать граничные условия (3). Затем
вычисления производят с по-
мощью двух операторов цикла FOR…NEXT для двух перемен-
ных j (j=1,…,m-1) и i (i=1,…,n-1). В каждом внутреннем узле i, j
вычисляется значение Ti,j по уравнениям (6) и сравнивается с
тем, которое было вычислено в результате предыдущей итерации.
Если наибольшая по модулю разность значений неизвестных, по-
лученных при последовательных итерациях, меньше заранее за-
данной малой погрешности
ε, то необходимо напечатать решение
Ti,j, иначе производится очередная итерация.
На рис. 4 через IT и IN обозначены номер итерации и
максимально допустимое количество итераций соответствен-
но.
Отметим, что метод Зейделя, примененный к решению
эллиптических разностных уравнений, называется методом
Либмана или методом последовательных смещений [1,2].
T
i
,j
+1
T
i+1
,j
T
i-1
,j
T
i
,j
-1
T
i
,j
Рис.3
Ti +1, j - 2Ti, j + Ti -1, j Ti, j+1 - 2Ti, j + Ti, j-1
+ = 0, Таким образом, в матрице Т системы имеет место диаго-
h2 k2 нальное преобладание элементов
i=1,2,3,…,n-1; j=1,2,3,…,m-1.
Tii ≥ ∑ Tij ;
i≠ j
i = 1,2,...n − 1; j = 1,2,..., m − 1, (7)
Если ввести обозначение σ = к/h, то эти уравнения примут
то есть выполнены достаточные условия сходимости итерацион-
вид
ного метода Зейделя, если хотя бы одно из неравенств (7) являет-
σ 2Ti +1, j + σ 2Ti -1, j + Ti, j+1 + Ti , j -1 - 2(1 + σ 2 )Ti , j = 0. ся строгим [1]. Первое же из приведенных свойств указывает на
При σ = 1, т.е. при одинаковых шагах разбиения вдоль осей то, что применение метода исключения Гаусса является целесо-
ОХ и ОУ (h=k), получим образным, так как исходная система после прямого хода этого
Ti , j = (Ti +1, j + Ti -1, j + Ti , j +1 + Ti, j-1 )/4 (6) метода превратится в систему с полной треугольной матрицей.
Блок-схема алгоритма решения рассматриваемой разност-
i=1,2,3,…,n-1; j=1,2,3,…,m-1. ной задачи методом Зейделя приведена на рис. 4. В соответст-
Эти соотношения означают, что значение функции Т(х,у) в узле вующей программе необходимо предусмотреть двумерный мас-
i,j сетки равно среднему арифметическому значений этой же сив, состоящий из m строк n столбцов, для значений температуры
функции в четырех соседних с ним узлах (рис. 3). в узлах сетки. В строках 0 и m, а также в столбцах 0 и n нужно за-
Таким образом, получена система (6), состоящая из (n-1)×(m-1) дать граничные условия (3). Затем вычисления производят с по-
линейных алгебраических уравнений относительно (n+1)×(m+1) мощью двух операторов цикла FOR…NEXT для двух перемен-
неизвестных Ti,j. сключая из этой системы с помощью гранич- ных j (j=1,…,m-1) и i (i=1,…,n-1). В каждом внутреннем узле i, j
ных условий (3) 2(m+n) неизвестные, получим (m-1)×(n-1) урав- вычисляется значение Ti,j по уравнениям (6) и сравнивается с
нений с соответствующим числом неизвестных. тем, которое было вычислено в результате предыдущей итерации.
Отметим, что окончательная система линейных уравнений Если наибольшая по модулю разность значений неизвестных, по-
обладает следующими свойствами: лученных при последовательных итерациях, меньше заранее за-
а) подавляющая часть коэффициентов этой системы равна данной малой погрешности ε, то необходимо напечатать решение
нулю; Ti,j, иначе производится очередная итерация.
На рис. 4 через IT и IN обозначены номер итерации и
максимально допустимое количество итераций соответствен-
Ti,j+1 б) в каждом уравнении один из но.
коэффициентов равен +4. Если в Отметим, что метод Зейделя, примененный к решению
уравнении имеются пять коэффици- эллиптических разностных уравнений, называется методом
Ti-1,j Ti,j Ti+1,j ентов, отличных от нуля, то сумма Либмана или методом последовательных смещений [1,2].
остальных четырёх коэффициентов
Ti,j-1 равна –4; если же количество ненуле-
вых коэффициентов меньше пяти, то
Рис.3 сумма остальных равна –2 или –3.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
