ВУЗ:
Составители:
x
i
=x
0
+i×h (i=0,1,2,…,n); y
j
=y
0
+j×k (j=0,1,2,…m).
В связи с этим метод конечных разностей для плоских облас-
тей иначе называется методом сеток. На рис. 1 координаты х
0
и у
0
равны нулю.
Перейдем теперь к записи разностных соотношений для
каждой внутренней точки полученной сеточной области. Узлы
сетки будем обозначать двумя индексами i, j, первый из кото-
рых соответствует нумерации точек разбиения отрезка а по
оси ОХ, а второй – отрезка b по оси ОУ (см. рис. 1). Узлы,
расположенные внутри области D, называются внутренними, а
узлы на границе Г области – граничными. Значения функции в
узлах сетки будем обозначать следующим образом
jijijiji
yxTyxТ
,,
),(;),(
ϕ
ϕ
=
=
Тогда граничные условия /2/ для прямоугольной сеточ-
ной области (см. рис. 1) можно записать в виде
mjT
mjT
niT
niT
jnjn
jj
mimi
ii
,...,2,1,0;
)3(,...,2,1,0;
,...,2,1,0;
,...,2,1,0;
,,
,0,0
,,
0,0,
==
==
==
==
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Если область опреде-
ления функции Т(х,у)
имеет криволиней-
ную границу Г, то
неизвестные T
i,j
в уз-
лах сетки, располо-
женных вблизи этой
границы, можно оп-
ределить линейной
интерполяцией зна-
чений Т(х,у) во внут-
реннем узле и в точке
пересечения Г с сеткой (рис. 2) [3].
)(
)1(
1
)4(
)(
)1(
1
2
1
,1,2
2
,
,,11
1
,
θ
θ
ϕθ
θ
ϕθ
θ
m
m
jijiji
jijiji
TT
или
TT
+
+
=
+
+
=
±
±
в зависимости от того, какая точка (x
i
±θ
1
h,y
j
) или (x
i
,y
j
±θ
2
k,)
пересечения границы Г с линиями сетки находится ближе к
граничному углу (см. рис. 2). В (4) введены следующие обо-
значения
,10),,(
,10),,(
22,
11,
2
1
≤≤±=
≤
≤
±
=
±
±
θθϕϕ
θ
θ
ϕ
ϕ
θ
θ
kyx
yhx
ji
j
i
ji
j
i
Во всех узлах i,j сеточной области производные в урав-
нении (1) можно аппроксимировать разностными отношения-
ми второго порядка точности по формулам
,)(0
2
T-
,)(0
2
T-
2
1-ji,1,
,
2
j1,-i,1
,
k
h
T
y
T
h
h
T
x
T
ji
ji
ji
ji
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
(5)
2
2
1,ji,1,
,
2
2
2
2
,1-ji,,1
,
2
2
)(0
2T-
,)(0
2T-
k
k
TT
y
T
h
h
TT
x
T
jiji
ji
jiji
ji
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+
+
Подставляя (5) в уравнение Лапласа (1) и отбрасывая по-
грешности аппроксимаций производных, получим конечно-
разностные уравнения
θ
1
h
θ
2
k
θ
1
h
θ
2
k
Рис.2
Г
Г
xi=x0+i×h (i=0,1,2,…,n); yj=y0+j×k (j=0,1,2,…m). 1
В связи с этим метод конечных разностей для плоских облас- Ti , j = (θ 1Ti ±1, j + ϕ i mθ1 , j )
(θ 1 + 1)
тей иначе называется методом сеток. На рис. 1 координаты х0
и у0 равны нулю. или (4)
Перейдем теперь к записи разностных соотношений для 1
каждой внутренней точки полученной сеточной области. Узлы Ti , j = (θ 2Ti , j ±1 + ϕ i , j mθ 2 )
сетки будем обозначать двумя индексами i, j, первый из кото- (θ 2 + 1)
рых соответствует нумерации точек разбиения отрезка а по
оси ОХ, а второй – отрезка b по оси ОУ (см. рис. 1). Узлы, в зависимости от того, какая точка (xi±θ1h,yj) или (xi,yj±θ2k,)
расположенные внутри области D, называются внутренними, а пересечения границы Г с линиями сетки находится ближе к
узлы на границе Г области – граничными. Значения функции в граничному углу (см. рис. 2). В (4) введены следующие обо-
узлах сетки будем обозначать следующим образом значения
Т ( xi , y j ) = Ti , j ; ϕ ( xi , y j ) = ϕ i , j ϕ i ±θ , j = ϕ ( xi ± θ 1 h, y j ),
1
0 ≤ θ 1 ≤ 1,
Тогда граничные условия /2/ для прямоугольной сеточ- ϕ i , j ±θ = ϕ ( xi , y j ± θ 2 k ), 0 ≤ θ 2 ≤ 1,
ной области (см. рис. 1) можно записать в виде 2
Во всех узлах i,j сеточной области производные в урав-
Ti ,0 = ϕ i ,0 ; i = 0,1,2,..., n нении (1) можно аппроксимировать разностными отношения-
Ti ,m = ϕ i ,m ; i = 0,1,2,..., n ми второго порядка точности по формулам
T0, j = ϕ 0, j ; j = 0,1,2,..., m (3)
⎛ ∂T ⎞ Ti +1, j - Ti-1, j
Tn , j = ϕ n , j ; j = 0,1,2,..., m ⎜ ⎟ = + 0(h) 2 ,
⎝ ∂x ⎠ i, j 2 h
Если область опреде-
ления функции Т(х,у) ⎛ ∂T ⎞ Ti , j +1 - Ti, j-1
⎜⎜ ⎟⎟ = + 0(k ) 2 ,
θ2k имеет криволиней- ⎝ ∂y ⎠ i , j 2h
Г Г ную границу Г, то
неизвестные Ti,j в уз- (5)
лах сетки, располо- ⎛∂ T ⎞
2
Ti +1, j - 2Ti, j + Ti -1, j
θ1h ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = + 0( h ) 2 ,
женных вблизи этой
⎝ ∂x ⎠ i , j
2
θ1h h
границы, можно оп-
θ2k ределить линейной ⎛ ∂ 2T ⎞ T - 2Ti, j + Ti , j −1
интерполяцией зна- ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = i , j +1 + 0( k ) 2
⎝ ∂y ⎠ i , j
2
Рис.2 k
чений Т(х,у) во внут-
реннем узле и в точке Подставляя (5) в уравнение Лапласа (1) и отбрасывая по-
пересечения Г с сеткой (рис. 2) [3]. грешности аппроксимаций производных, получим конечно-
разностные уравнения
