ВУЗ:
Составители:
Пример 1
.Используя метод сеток решить задачу Дирих-
ле для уравнения Лапласа (1) в квадрате АВСД с вершинами
А(0;0), В(0;1), С(1;1), Д(1;0) (рис. 5); шаги сетки по осям ОХ и
ОУ читать равными h=k=0,2
Граничные условия:
Т|
АВ
=45у(1-у);
Т|
ВС
=25х;
Т|
СД
=25; Т|
АД
=25х⋅sin(πx/2).
С учётом этих условий
запишем значения функ-
ции Т(х,у) в каждом гра-
ничном узле заданной
области АВСД (рис. 6):
на стороне АВ
:
Т
0,0
=0,00; Т
0,1
=7,20;
Т
0,2
=10,80; Т
0,3
=10,80;
Т
0,4
=7,20; Т
0,5
=0,00.
на стороне ВС
:
Т
1,5
=5,00; Т
2,5
=10,00;
Т
3,5
=15,00; Т
4,5
=20,00;
Т
5,5
=25,00
на стороне СД
:
Т
5,1
=25; Т
5,2
=25;
Т
5,3
=25; Т
5,4
=25;
на стороне АД
:
Т
1,0
=1,545; Т
2,0
=5,878;
Т
3,0
=12,135; Т
4,0
=19,021;
Т5,0=25
Составим теперь
конечно-разностные
уравнения для каждого внутреннего узла рассматриваемой сеточ-
ной области. На рис. 6. Эти узлы обозначены кружками. При со-
ставлении уравнений воспользуемся соотношением (6) и шабло-
ном на рис. 3
начало
ε
,IN,N,M,H
T(i,j)=0; I=0,…,n; j=0,…,m
Задание гранич.условий (3)
IT
=
1
D
=
0
j=1,m-1
i=1,n-1
)]
1
,
(
)
1
-
,
(
),1-(),1([
4
1
+
+
+
+++=
j
i
T
j
i
T
jiTjiTx
D> |j)T(i,-x|
|j)T(i,-| xD
=
xj)T(i, =
?
D
ε
<
T(i,j); i=0,..,n;
j
=
0,
m
;
коне
ц
1ITIT
+
=
IN
IT
>
Рис.4
Н
е
т
Н
е
т
Да
Да
Да
Нет
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
BC
Д
A
x
y
Рис.5
T
0
,
0
T
1
,
0
T
2
,
0
T
3
,
0
T
4
,
0
T
5
,
0
T
0
,
1
T
1
,
1
T
2
,
1
T
3
,
1
T
4
,
1
T
5
,
1
T
0
,
2
T
1
,
2
T
2
,
2
T
3
,
2
T
4
,
2
T
5
,
2
T
0
,
3
T
1
,
3
T
2
,
3
T
3
,
3
T
4
,
3
T
5
,
3
T
0
,
4
T
1
,
4
T
2
,
4
T
3
,
4
T
4
,
4
T
5
,
4
T
0
,
5
T
1
,
5
T
2
,
5
T
3
,
5
T
4
,
5
T
5
,
5
Рис.6
начало
Пример 1.Используя метод сеток решить задачу Дирих-
ле для уравнения Лапласа (1) в квадрате АВСД с вершинами
ε,IN,N,M,H
А(0;0), В(0;1), С(1;1), Д(1;0) (рис. 5); шаги сетки по осям ОХ и
ОУ читать равными h=k=0,2
T(i,j)=0; I=0,…,n; j=0,…,m Граничные условия:
Задание гранич.условий (3) y Т|АВ=45у(1-у);
Т|ВС=25х;
IT=1 B C
1.0 Т|СД=25; Т|АД=25х⋅sin(πx/2).
С учётом этих условий
D=0 0.8 запишем значения функ-
j=1,m-1 0.6 ции Т(х,у) в каждом гра-
ничном узле заданной
0.4 области АВСД (рис. 6):
i=1,n-1
на стороне АВ:
0.2
A Т 0,0=0,00; Т0,1=7,20;
1 Д Т0,2=10,80; Т0,3=10,80;
x= [T (i + 1, j ) + T (i - 1, j ) + 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x
4 Т0,4=7,20; Т0,5=0,00.
+ T (i, j - 1) + T (i, j + 1)] Рис.5
на стороне ВС:
Да Т1,5=5,00; Т2,5=10,00;
| x - T(i, j) | > D
Т3,5=15,00; Т4,5=20,00;
D = | x - T(i, j) | T0,5 T1,5 T2,5 T3,5 T4,5 T5,5 Т5,5=25,00
Нет
T(i, j) = x T0,4 T1,4 T2,4 T3,4 T4,4 T5,4
на стороне СД:
T0,3 T1,3 T2,3 T3,3 T4,3 T5,3 Т5,1=25; Т5,2=25;
T T T T T T Т 5,3 =25; Т5,4=25;
0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2
Нет T0,1 T1,1 T2,1 T3,1 T4,1 T5,1
D<ε ? IT = IT + 1
на стороне АД:
Т1,0=1,545; Т2,0=5,878;
Да
Нет T0,0 T1,0 T2,0 T3,0 T4,0 T5,0 Т3,0=12,135; Т4,0=19,021;
T(i,j); i=0,..,n; IT > IN Т5,0=25
j=0,m;
Рис.6 Составим теперь
Да конечно-разностные
конец уравнения для каждого внутреннего узла рассматриваемой сеточ-
Рис.4 ной области. На рис. 6. Эти узлы обозначены кружками. При со-
ставлении уравнений воспользуемся соотношением (6) и шабло-
ном на рис. 3
