Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей. Методические указания для выполнения лабораторно-практической работы. Бундаев В.В - 7 стр.

UptoLike

4 -1 -1
-1 4 -1 -1
-1 4 -1 -1
-1 4 -1
-1 4 -1 -1
-1 -1 4 -1 -1
-1 -1 4 -1 -1
-1 -1 4 -1
-1 4 -1 -1
-1 -1 4 -1 -1
-1 -14 -1 -1
-1 -14 -1
-1 4 -1
-1 -14 -1
-1 -14 -1
-1 -14
Правая часть системы равна
8.745 5.878 12.135 44.021 10.80 0 0 25
10.80 0 0 25 12.12 10 15 45
Решая эту систему методом Гаусса, получим ответ:
Т
1,1
=7,18; Т
2,1
=9,86; Т
3,1
=14,32; Т
4,1
=19,63
Т
1,2
=10,15; Т
2,2
=12,07; Т
3,2
=15,07; Т
4,2
=20,17
Т
1,3
=10,55; Т
2,3
=12,62; Т
3,3
=16,12; Т
4,3
=20,40
Т
1,4
=8,63; Т
2,4
=11,76; Т
3,4
=15,79; Т
4,4
=20,30
Число итераций=18 при Е=0,01
Наглядное представление о распределении температуры
Т(х,у) в квадратной пластине АВСД (рис. 5) при заданных гранич-
ных условиях на её сторонах могут дать эпюры Т(х,у), построен-
ные при различных фиксированных значениях y
j
=jh, j=0,1,2,…,5;
h=0,2 (рис.7)
Отметим, что при движении вдоль соответствующих гори-
зонтальных прямых y
j
=jh, j=0,1,2,…,5; h=0,2 от левой стороны
пластины к её правой стороне температура Т(х,у) изменяется
плавно, достигая наибольшего своего значения, равного 25 при
i=5. Минимальные значения температуры Т(х,у) имеют место
вблизи левой стороны АВ пластины при j=0,4,5 и вблизи узлов с
индексом i=I при j=1,2,3.
I= 1 I= 3 i= 3 i= 4 i= 5I= 0
j
=0
j
=1
j
=2
j
=3
j
=4
j
=5
0
7.20
10.80
10.80
7.20
0
25
25
25
25
25
25
5
8.63
10.55
10.15
7.18
1.545
10
11.76
12.62
12.07
9.86
5.878
20
20.30
20.40
20.17
19.63
19.021
15
15.79
16.12
15.67
14.32
12.135
Рис.7
 4 -1        -1
 -1 4 -1             -1
    -1 4 -1               -1
       -1 4                -1                                                                                                                   20
                                                                                                                                                              25
 -1          4       -1       -1                                                                                  10
                                                                                                                                  15
                                                                                                  5
    -1       -1      4 -1        -1                                                0                                                                          j= 5

       -1            -1 4 -1        -1
          -1            -1 4           -1                                                                                                       2 0 .3 0
                                                                                                                                                              25

             -1               4 -1        -1                                   7 .2 0                             1 1 .7 6
                                                                                                                                  1 5 .7 9
                                                                                                  8 .6 3                                                      j= 4
                     -1       -1 4 -1        -1
                        -1       -1 4 -1        -1                                                                                                            25
                                                                                                                                                2 0 .4 0
                           -1       -1 4           -1                                                                             1 6 .1 2
                                                                                                                  1 2 .6 2
                              -1          4 -1                                1 0 .8 0            1 0 .5 5                                                    j= 3

                                 -1       -1 4 -1
                                                                                                                                                              25
                                    -1       -1 4 -1                                                                                            2 0 .1 7
                                                                                                                                  1 5 .6 7
                                       -1       -1 4                          1 0 .8 0            1 0 .1 5        1 2 .0 7
                                                                                                                                                              j= 2


        Правая часть системы равна                                                                                                              1 9 .6 3
                                                                                                                                                              25

  8.745     5.878      12.135 44.021      10.80    0     0  25                                                                    1 4 .3 2
                                                                                                  7 .1 8          9 .8 6
  10.80     0          0        25        12.12    10    15 45                7 .2 0                                                                          j= 1

        Решая эту систему методом Гаусса, получим ответ:                                                                                                      25
           Т1,1=7,18; Т2,1=9,86; Т3,1=14,32; Т4,1=19,63                                                                           1 2 .1 3 5
                                                                                                                                                1 9 .0 2 1
                                                                                                  1 .5 4 5
           Т1,2=10,15; Т2,2=12,07; Т3,2=15,07; Т4,2=20,17                                                         5 .8 7 8
                                                                                                                                                              j= 0
                                                                                       0
           Т1,3=10,55; Т2,3=12,62; Т3,3=16,12; Т4,3=20,40
           Т1,4=8,63; Т2,4=11,76; Т3,4=15,79; Т4,4=20,30
        Число итераций=18 при Е=0,01
                                                                                   I= 0    I= 1            I= 3            i= 3          i= 4          i= 5
        Наглядное представление о распределении температуры
Т(х,у) в квадратной пластине АВСД (рис. 5) при заданных гранич-
                                                                                                             Р и с .7
ных условиях на её сторонах могут дать эпюры Т(х,у), построен-
ные при различных фиксированных значениях yj=j⋅h, j=0,1,2,…,5;
h=0,2 (рис.7)
                                                                  пластины к её правой стороне температура Т(х,у) изменяется
                                                                  плавно, достигая наибольшего своего значения, равного 25 при
                                                                  i=5. Минимальные значения температуры Т(х,у) имеют место
                                                                  вблизи левой стороны АВ пластины при j=0,4,5 и вблизи узлов с
       Отметим, что при движении вдоль соответствующих гори-      индексом i=I при j=1,2,3.
 зонтальных прямых yj=jh, j=0,1,2,…,5; h=0,2 от левой стороны