Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 14 стр.

                                                  27                                                                                   28


      а)                                               б)                                               Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для
                                                                                             всей          системы      в      целом.    Обозначим      через
                                                                                             ρ ρ ρ                 ρ          ρ
               у                                                   у                                [
                                                                                             Y = Y1 Y2 Λ           Ye Λ       Yc   ]T
                                                                                                                           вектор внутренних усилий в
                                                                              Yek            стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через
      у/
                                  х/                                     е
                                                                                             векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде
                                                                                             равенств
                                                       Хен                          Xek                                   ρ ρ           ρ
                   е             Nek                                                                                      Ye = X ен = − X ek .
Neн                    α               х
                                                              0    Yен                х                 Связь     между       вектором               внешних    нагрузок
                                                                                             ρ ρ           ρ       ρ           ρ                       ρ
           О                                                                                 P = P1 [      P2 Λ    Pj Λ        Py      ]
                                                                                                                                       T
                                                                                                                                            и вектором Y представляет
                                            Рис.1.5
                                                                                             собой объединение в одно матричное соотношение уравнений
Очевидно, что
                                                                                             равновесия (1.18) всех узлов фермы с помощью структурной
X ен = − N e cos(α );                             X еk = N e cos(α );
                                                                                             матрицы S c :
Yен = − N e sin(α );                               Yеk = N e sin(α );                                                          ρ      ρ
                                                                                                                               P = S cY .
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и
концу стержня.                                                                                     Учитывая формулы (1.17), это соотношение можно запи-
                                                                                             сать в виде
           В матричной записи эти соотношения имеют вид                                                          ρ       ρ
                                                                                                                 P = −S N                       (1.19)
            ρ        ρ                                      ρ      ρ                                    ρ                          *

                                                                                                        N = [N1
                                                                                                             N 2 Λ N e Λ N c ] - вектор усилий в
                                                                                                                                                 T
            Х ен = − Fф N e ;                               Х еk = Fф N e ;         (1.17)   где
где                                                                                          стержнях фермы.
      ρ       cos(α )    ρ     X         ρ                                                     Матрица S * получается из структурной матрицы S с за-
      Fф =              ;
                         X ен =  ен 
                                                   X 
                                            X ек =  ek                                                                                    ρ
            sin(α )                                                                      меной элементов «1» на векторы Fф , элементов «-1» на векторы
                                 Yен              Yek                                     ρ
                                                                                             - Fф , а элементов «0» - на нулевые векторы [0              0] .
                                                                                                                                                           Т
      Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-
дятся nj стержней.                                                                                                        ρ
             ϖ           T
                           [           ]
      Пусть Pj = Pxj Pyj - вектор внешней нагрузки, прило-
                                                                                                   Далее из вектора Р необходимо исключить элементы, со-
                                                                                                                                             ρ
                   ρ                                                                         ответствующие опорным связям и получить вектор Q , а из мат-
женный к узлу j, а X e = [ X e                     Ye ] - вектор усилий на конце
                                                        T
                                                                                             рицы S * исключить соответствующие строки, образуя матрицу
стержня е, примыкающего к рассматриваемому узлу. Тогда ус-                                                                         ρ
ловие равновесия узла j записывается в виде:                                                 S Р . Тогда вектор неизвестных усилий N определится как ре-
                      ρ     nj
                               ρ                   (1.18)                                    шение матричного уравнения
                                                                                                                           ρ    ρ
                                Pj = ∑ X e                                                                             S P N = −Q                                (1.20)
                                           e =1