Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

29
Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-
дующим выводам:
во-первых, матрица
Р
S должна быть квадратной, т.е. раз-
ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна
нулю
2У-С-С
оп
= 0.
Это равенство известно как условие статической определимости
фермы, здесь С
оп
– число опорных стержней;
во-вторых, определитель матрицы
Р
S должен быть отли-
чен от нуля, т.е.
,0det ≠
P
S
что является условием геометрической неизменяемости фермы.
Изложенный матричный алгоритм можно использовать в
случае, когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений.
Для этого в матричном уравнении (1.20) векторы
Q
ρ
и
N
ρ
нужно
заменить соответствующими матрицами
Q и
N
. При этом
столбцы этих матриц, имеющие одинаковые номера, отвечают
одному и тому же нагружению. Это свойство может быть ис-
пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях
фермы. Для этого каждый столбец матрицы нагружений
Q дол-
жен содержать лишь один элемент –1 , расположенный в строке
с номером, соответствующим номеру узла, в котором приложен
груз Р = 1.
1.2.1. Пример расчета статически определимой фермы
Пусть дана ферма, изображенная на рис.1.6.
Определить усилия N
1
, N
2
, …, N
17
в стержнях этой фермы.
1.Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см. рис.1.6) и за-
пишем структурную матрицу (см. п.1.1)
30
Рис.1.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
=
11000000000000000
10110000000000000
01101100000000000
00011011000000000
00000110110000000
00000001101100000
00000000011011000
00000000000110110
00000000000001101
00000000000000011
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
c
S
2.Зададим координаты узлов (1.3)
=
4
0
1
C
ρ
;
;
0
0
2
=C
ρ
;
4
3
3
=C
ρ
;
0
3
4
=C
ρ
;
4
6
5
=C
ρ
;
0
6
6
=C
ρ
;
4
9
7
=C
ρ
;
0
9
8
=C
ρ
;
4
12
9
=C
ρ
;
0
12
10
=C
ρ
R
B
H
A
R
A
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4
2 6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3м 3м 3м
α
                             29                                                                                          30

      Условия разрешимости этого уравнения приводит к сле-
дующим выводам:
      во-первых, матрица S Р должна быть квадратной, т.е. раз-
                                                                                                   2        3        6        5        10            7 14       9
ность между числами ее строк и столбцов должна быть равна                                 1
нулю                                                                                      1   3        5        7        9        11        13       15         17
                         2У-С-Соп = 0.                                         HA
Это равенство известно как условие статической определимости                              2        α
                                                                                                   4                 8                 12                 16
фермы, здесь Соп – число опорных стержней;                                                                  4                 6                  8                   10
      во-вторых, определитель матрицы S Р должен быть отли-
                                                                                     RA                                                                         RB
чен от нуля, т.е.                                                                                               3м                3м                 3м
                         det S P ≠ 0,
что является условием геометрической неизменяемости фермы.                                                               Рис.1.6
     Изложенный матричный алгоритм можно использовать в
случае, когда требуется рассчитать ферму на ряд нагружений.                1   2    3    4    5        6        7    8        9    10        11      12        13    14    15   16   17
                                               ρ   ρ                 11       1    0    0    0        0        0    0        0     0         0       0         0    0     0    0    0
Для этого в матричном уравнении (1.20) векторы Q и N нужно
                                                                      2 −1   0    1    1    0        0        0    0        0     0         0       0         0    0     0    0    0 
заменить соответствующими матрицами Q и N . При этом                  30      −1   −1   0    1        1        0    0        0     0         0       0         0    0     0    0    0
столбцы этих матриц, имеющие одинаковые номера, отвечают                                                                                                                               
                                                                      40      0    0    −1   −1       0        1    1        0     0         0       0         0    0     0    0    0
одному и тому же нагружению. Это свойство может быть ис-
пользовано для построения матриц влияния усилий в стержнях           50       0    0    0    0        −1       −1   0        1     1         0       0         0    0     0    0    0
                                                                 Sc =                                                                                                                  
фермы. Для этого каждый столбец матрицы нагружений Q дол-            60       0    0    0    0        0        0    −1       −1    0         1       1         0    0     0    0    0
жен содержать лишь один элемент –1 , расположенный в строке          70       0    0    0    0        0        0    0        0    −1        −1       0         1    1     0    0    0
                                                                                                                                                                                       
с номером, соответствующим номеру узла, в котором приложен           80       0    0    0    0        0        0    0        0     0         0      −1        −1    0     1    1    0
груз Р = 1.                                                          90       0    0    0    0        0        0    0        0     0         0       0         0    −1    −1   0    1
                                                                                                                                                                                       
                                                                     10 0    0    0    0    0        0        0    0        0     0         0       0         0    0     0    −1   −1
     1.2.1. Пример расчета статически определимой фермы
                                                                        2.Зададим координаты узлов (1.3)
    Пусть дана ферма, изображенная на рис.1.6.                    ρ 0              ρ 0                  ρ  3                          ρ  3                        ρ 6 
    Определить усилия N1, N2, …, N17 в стержнях этой фермы.       C1 =   ;         C 2 =  ;             C 3 =  ;                      C 4 =  ;                    C 5 =  ;
    1.Пронумеруем узлы в стержнях фермы (см. рис.1.6) и за-              4               0                     4                            0                            4
пишем структурную матрицу (см. п.1.1)                             ρ 6              ρ 9                  ρ 9                           ρ 12                        ρ      12
                                                                  C 6 =  ;         C 7 =  ;             C 8 =  ;                      C 9 =  ;                    C10 =  ;
                                                                        0                 4                   0                             4                            0

Страницы