Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 53 стр.

                                 105                                                                106

  или                                                                              0,5 − 0,5              ϕ1   M A 
                k1ϕ1 − k1ϕ 2 = M A                                               − 0,5 1,5  −1           ϕ   − M 
                − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ = − M                               GI p                         2             
                 1 1          1    2    2    2 3                                      − 1 17 − 16       ϕ 3  =  0 
                 − k 2ϕ 2 + (k 2 + k 3 )ϕ 3 − k 3ϕ 4 = 0                     l                                         
                                                                                             − 16 24 − 8 ϕ 4  − 4M 
                 − k ϕ + (k + k )ϕ − k ϕ = −4 M
                  3 3           3    4    4     4 5                                             − 8 8  ϕ 5   M B 
                 − k 4ϕ 4 + k 4ϕ 5 = M B
                                                                           Учет граничных условий.
      В матричном виде эта система записывается в виде (3.16).
                                                                            Предположим, что угловые перемещения ϕ1 и ϕ5 на концах
       k1   − k1                        ϕ1   MA                 вала заданы и соответственно равны ∆1 и ∆2. Тогда с учетом ска-
      − k (k + k ) − k                  ϕ   − M                 занного в п. 3.1.1. система (3.16) может быть записана в виде:
       1 1 2          2                  2          
            − k2 (k2 + k3) − k3         ϕ3  =  0       (3.16)           1 0    0  0        0 ϕ1        (GI p / l )∆1           
                                                                        0 1,5 − 1                                              
                   − k3 (k3 + k4 ) − k4 ϕ4  − 4M                                   0        0 ϕ2   − M + 0,5 × (GI p / l )∆1 
                                                                         GI p 
                          − k4     k4 ϕ5   MB                     0 − 1 17 − 16      0 ϕ3  =           0                 
или
                                                                          l                                                          
                                       ρ                                      0 0 − 16 24        0 ϕ4  − 4M + 0,8 × (GI p / l ) × ∆2 
                            [K ]{ϕρ} = {Q}                                    0 0   0  0        1 ϕ5   (GI p / l ) × ∆2         
                                                                                                                                          
      Здесь [K] - глобальная матрица жесткости ансамбля ко-
нечных элементов. Эта матрица имеет симметричную ленточ-
                                                                           Так как ∆1=∆2=0, то
ную структуру, является неотрицательно определенной.
        ρ                                                                           1 0    0  0          0 ϕ1   0 
       {ϕ} = [ϕ1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ 4ϕ 5 ]T - вектор неизвестных узловых
углов поворота сечений;
                                                                                    0 1,5 − 1
                                                                                              0          0 ϕ 2   − ϕ 0 
       ρ
      {Q} - вектор внешних узловых крутящих моментов.                               0 − 1 17 − 16        0 ϕ 3  =  0 .
                                                                                                                            
     Подставляя выражения для k1, k2, k3, k4, записанные через                      0 0 − 16 24          0 ϕ 4  − 4ϕ 0 
жесткости GIp, получим систему                                                      0 0   0  0          1 ϕ 5   0 

                                                                                    M ×l
                                                                        где ϕ 0 =        - обозначение.
                                                                                    GI p