Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 55 стр.

                               109                                                             110

     Определяем теперь вектор узловых крутящих моментов
ρ
M ke = [M H , M K ] в каждом элементе е по формуле
                       T
                                                                        ρ            1 − 1 ϕ 1  GI p − ϕ 2 
                                                                                 GI p
             ρ                                                          M K(3) =    − 1 1  ⋅ ϕ  = 2l  ϕ  =
                               ρ ( e ) GI p  1 − 1 ϕ H 
            M k( e ) = [k ] ⋅ {ϕ } =                                              2l         2          2 
                           (e)
                                           ⋅        ⋅ ,
                                        l − 1 1  ϕ K              GI p  1,05882ϕ 0   0,52941M 
                                                                                         =                ;
                                                                         2l − 1,05882ϕ 0  − 0,52941M 
где [k](e)- матрица жесткости конечного элемента;
       ϕН и ϕк - соответственно углы поворота на левом и пра-
вом концах конечного элемента;
      МН и МК – крутящие моменты на левом и правом концах              ρ          GI p  1     − 1  ϕ 1     GI p  − ϕ 2 
                                                                      M K( 4 ) =                     ⋅  =                   =
                                                                                                              2 l  ϕ 2 
элемента соответственно.
                                                                                    2l − 1     1  ϕ 2 
    ρ          GI p  1 − 1 ϕ1  GI p − ϕ 2                       GI p  1, 05882 ϕ 0          0 , 52941 M 
    M K(1) =                 ⋅         =              =                        − 1, 05882 ϕ  =  − 0 , 52941 M  ;
                2l − 1 1  ϕ 2    2l  ϕ 2                   2l                  0                    

    GI p  1,05882ϕ 0   0,52941M 
                          =                  ;                         По результатам вычислений строим эпюры безразмер-
     2l − 1,05882ϕ 0  − 0,52941M                                             ϕ                                   D3
                                                                  ных углов поворота    , касательных напряжений τ max ⋅
    ρ          GI p  1 − 1  − 1,05882ϕ 0                                         ϕ0                                  M
    M K( 2 ) =               ⋅                  =
                 l − 1 1  − 0,58823ϕ 0                    и крутящих моментов MK/M (рис.3.7)

    GI p ⋅ ϕ 0 − 1,05882 + 0,58823 − 0,47059 M                   Подбор сечений вала (проектировочный расчет).
          l     1,05882 − 0,58823  =  0,47059 M ;                Пусть дано М=2 кНм; τadm=70 Мпа – допускаемое каса-
                                                            тельное напряжение для стали.
     ρ        16GI p  1 − 1  − 0,58823ϕ 0                        Из полученных величин τmax выбираем наибольшее по
    M K( 3) =                  ⋅                =
                 l − 1 1  − 0,55882ϕ 0 
                                                                модулю значение
                                                                                                               M
                                                                                    τ max = τ max
                                                                                              ( 4)
                                                                                                   = 2.79412
    16GI p ⋅ ϕ 0 − 0,58828 + 0,55882 − 0,47059 M                                                           D3
            l      0,58828 − 0,55882  =  0,47059 M ;            Из условия прочности при кручении
                                                                                      τmax ≤ τadm
                                                                  находим диаметр D
                                                                                                  M
                                                                                        2,79412      = τ adm
                                                                                                  D3