Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 66 стр.

                                            131                                                                                      132

ρ                               ϖ                                                     ной систем координат
u ′ = [u1′ , u 2′ , Κ , u12
                         ′ ]T и u = [u1 , u 2 , Κ , u12 ]T векторы узловых пе-

ремещений элемента в локальных и глобальных координатах.                                                       ( x j − xi )                                 ( y j − yi )
                                                                                       t x′x = cos(x ′, x) =                  ;      t x′y = cos(x , y) =                  ;
                                                                                                                    l                                             l            (3.30)
соответственно. Тогда связь между ними можно задать в виде
                                                                                       t y′x = cos( y ′, x);       t y′y = cos( y ′, y); t y′x = −t x′y ; t y′y = t x′x ;
формулы
                                     ρ         ρ                                       l = ( x j − xi ) 2 + ( y j − y i ) 2 ;
                                     u ′ = [T ]u ,                        (3.27)

где [Т] – ортогональная матрица преобразования координат                                     Заметим, что угловые перемещения uiz и ujz при повороте

([Т]-1=[Т]Т). Вид ее однозначно определяется из равенства (3.27)                      координат в плоскости изгиба не изменяются, поэтому на соот-

и имеет блочно-диагональную структуру                                                 ветствующих местах матрицы стоят единицы.
                                                                                                    ρ ρ                       ρ
                                       [t ]                                               Пусть δu T R - работа узловых сил R на возможных пере-
                                              [t ]                                              ρ                                    ρ ρ
                            12 ×12                                           (3.28)   мещениях δu в глобальной системе координат, а δu ′ T R ′ - рабо-
                                [T ] =                              
                                                     [t ]                                            ρ                                ρ
                                                                                     та узловых сил R ′ на возможных перемещениях δu ′ в локаль-
                                                               [t ]
                                                                                      ной системе координат. Поскольку работа не зависит от того, в
                                                                                      какой системе производятся вычисления, то можно записать
                                                                                       ϖ ρ         ϖ ρ
                          3×3
      Каждый блок [t ] выполняет преобразование над поступа-                                                                                                  ρ            ρ
                                                                                      δu T R = δu ′T R ′ . Так как согласно (3.27) δu ′ T = δu T T T , то
тельными или вращательными компонентами одного узла. В ча-                             ϖρ          ϖ       ρ                                                          ρ
                                                                                      δu T R = δu T T T R′ . Ввиду произвольности вектора δu T получим
стности, для плоской рамы матрица преобразований имеет вид                                                                        ρ         ρ
                                                                                                                                  R = [T ]T R ′                                (3.31)
                       t x′x      t x′y   0    0        0          0
                       t          t y′y   0    0        0          0
                                                                                             Учитывая (3.18) и (3.31) можно записать
                        y′x                                                 (3.29)
                                                                                                                        ρ              ρ                   ρ
                       0           0      1 0           0          0                                                  R = [T ]T [ k ]u = [T ]T [ k ]′[T ]u ′ .
                [T ] =                                               
                       0           0      0 t x′x      t x′y       0                       Следовательно, преобразование матрицы жесткости эле-
                       0           0      0 t y′x      t y′y       0
                                                                                    мента выполняется по матричной формуле
                        0         0      0 0            0         1

      Компонентами этой матрицы являются направляющие ко-
                                                                                                                          [k ] = [T ]T [k ]′ ⋅ [T ]                            (3.32)

синусы между соответствующими осями локальной и глобаль-