Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 67 стр.

                                 133                                                                         134

      Составление уравнений равновесия для стержневой                            Если предположить, что силы, действующие в узлах кон-
                                                                         струкции известны, то равенство (3.33) можно рассматривать
системы
                                                                         как систему линейных уравнений относительно компонентов
       Уравнения равновесия для всей совокупности (ансамбля)             вектора перемещений u
элементов составляются в глобальной системе координат xyz,                                              Ku=Q                       (3.34)
единой для всех элементов конструкции (рис.3.9,а). При этом              где Q=R-Ro –вектор внешних сил. Квадратная матрица K систе-
компоненты матрицы жесткости и векторы эквивалентных уси-                мы называется обобщенной матрицей жесткости (ОМЖ). Эле-
лий отдельных элементов также необходимо преобразовать к                 менты kij этой матрицы можно получить из матриц жесткости
глобальным координатам, используя глобальную нумерацию                   k(e)ij отдельных элементов по формуле
степеней свободы.
       Рассмотрим стержневую систему в целом в глобальной
                                                                                          ∑
                                                                                       k ij = k ij( e )   (i , j = 1,2,3, Κ , m ),  (3.35)

системе координат xyz. Обозначим через ui вектор перемещений             где суммирование выполняется по всем элементам, входящим в
типового узла i. Число элементов этого вектора равно числу сте-          стержневую систему. При этом нужно учитывать то, что
пеней свободы узла. Матрицу внешних сил, действующих в узле              k ij( e ) = 0, если соответствующий элемент не соединяет узлы i, j.
i в направлении перемещений ui, обозначим через Ri.                            Следовательно, для получения ОМЖ можно все элементы
       Векторы узловых перемещений и сил для всей конструк-              матрицы жесткости каждого стержня k(e)ij распределить по соот-
ции обозначим                                                            ветствующим ячейкам обобщенной матрицы жесткости, поло-
                 u=[u1,u2,…,um]T;  R=[R1,R2,…,Rm]T;                      жение которых определяется нижними индексами, и затем про-
где m – число узлов стержневой системы.                                  извести суммирование всех накладывающихся элементов.
       Если на элемент конструкции действует внеузловая на-                    При формировании вектора Q в уравнении (3.34) можно
грузка, то считаем, что на узел i этого элемента действует вектор        воспользоваться аналогичным правилом
эквивалентной нагрузки R0i, число элементов которого равно
числу степеней свободы узла. Для всей конструкции можно за-
                                                                                                    Qi = ∑ Qi( e ) ,                (3.36)
писать вектор R0=[R01, R02, …, R0m]T.
       Тогда связь между узловыми силами и узловыми переме-              где суммирование производится по всем элементам, сходящимся
щениями может быть представлена в виде равенства                         в узле i. Описанный прием формирования объединенной матри-
                          R=Ku+R0,                              (3.33)   цы жесткости и вектора правой части называется методом пря-
или в развернутой форме                                                  мых жесткостей и используется при составлении программ, реа-
                                                                         лизующих МКЭ.
         R1   k11 Κ k1 j Κ k1m   u1    R 01  
         Μ  Κ Κ Κ Κ                                                      Отметим, что в матрице К все ненулевые элементы сгруп-
                                     Κ   Μ   Μ  
                                                                  пированы вблизи главной диагонали, т.е образуют своеобразную
         R i  =  k i1 Κ k ij Κ k im  ⋅  u j  +   R 0i   ,      ленту. Ширину этой ленты можно определить по формуле
                                                      
         Μ  Κ Κ Κ Κ               Κ   Μ   Μ  
                                                                                                   (e)     (e)                      (3.37)
        R m  k m1 Κ k mj Κ k mm  um   R 0m                                    L = [max(n max − n min ) + 1] ⋅ n y ,
                                                                                    (e)