Математические методы в коммерческой деятельности. Буравлева О.Ю. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым авто-
матом.
Р е ш е н и е
Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипо-
тезы): В
1
– деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое
больше деталей, чем второй) Р(В
1
) = 2/3; В
2
– деталь произведена вторым автоматом, причем Р(В
2
) =
1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым ав-
томатом,
1
В
Р
(А) = 0,6.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым ав-
томатом,
2
В
Р (А) = 0,84.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной ве-
роятности равна
Р(А) = Р(В
1
)
1
В
Р
(А) + Р(В
2
)
2
В
Р
(А)=2/3 ⋅ 0,6 + 1/3 ⋅ 0,84 = 0,68.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле
Байеса равна
Р
А
(В
1
)=
17
10
68,0
6,03/2
)(
)()(
1
1
=
⋅
=
АР
АРВР
В
.
6.3.3 ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. При
этом любая машина может выйти из строя. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зави-
сит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испыта-
ния). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми (р).
Пусть в общем случае проводится n независимых испытаний. Задача такова: определить вероят-
ность того, что в m испытаниях наступит событие А, если вероятность его наступления в каждом испы-
тании равна р. В нашем примере это может быть вероятность выхода из строя одной машины, двух ма-
шин и т.д.
Определим вначале вероятность того, что в первых m испытаниях событие А наступит, а в осталь-
ных n – m испытаниях не наступит. Вероятность такого события можно получить по формуле вероятно-
сти произведения независимых событий
р = p
m
q
n–m
,
где q = 1 – p.
Заметим, что это лишь одна из возможных комбинаций, когда событие А произошло только в пер-
вых m испытаниях. Для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбина-
ции. Их число равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.
m
n
С
.
Таким образом, вероятность того, что событие А наступит в любых m испытаниях, определяется по
формуле
P
n
(m) =
m
n
С
p
m
q
n–m
, (6.10)
где
m
n
С =
!)!(
!
mmn
n
−
.
Формула (6.10) носит название формулы Бернулли.
Пример. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каж-
дой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?
Р е ш е н и е
По формуле Бернулли находим
Р
4
(3) =
3
4
С ⋅ 0,5
3
⋅ 0,5 =
!3
!4
0,5
3
⋅ 0,5 = 0,25.

Страницы