Математические методы в коммерческой деятельности. Буравлева О.Ю. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Существует ряд свойств математического ожидания, которые формулируются в виде теорем.
Теорема 6.4.1 Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.
Теорема 6.4.2 Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
Прежде чем формулировать следующую теорему, дадим определение суммы случайных величин.
Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина, обозначаемая X + Y,
которая принимает все значения вида x
i
+ y
j
(i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) с вероятностями p
ij
выра-
жающими вероятность того, что случайная величина X принимает значение x
i
, а случайная величина Y –
значение y
j
, т.е.
P
ij
= P(X = x
i
, Y = y
i
) = P(X = x
i
) P(Y = y
j
/X = x
i
).
Для удобства записи будем обозначать
P(X = x
i
) = p
i
; P(X = x
I
/ Y = y
j
) = p
i /j
;
P(Y = y
j
) = p
j
; P(Y = y
j
/ X = x
i
) = p
j/i
.
Для независимых случайных величин p
ij
= p
i
p
j
.
Теорема 6.4.3 Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме
их математических ожиданий.
Следствие Математическое ожидание отклонения случайной величины X от ее математического
ожидания равно нулю.
Теорема 6.4.4 Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий.
Пример Пусть X и Y – независимые случайные величины с математическими ожиданиями M(X) =
3, M(Y) = 4. Найти математическое ожидание случайной величины 2X + 3Y – 2XY.
Р е ш е н и е. Используя свойства математического ожидания, находим
M(2X + 3Y – 2XY) = M(2X) + M(3Y) – M(2XY) = 2M(X) + 3M(Y) – 2M(X)M(Y) = = 2
⋅ 3 + 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = –6.
6.4.4 ДИСПЕРСИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Рассмотрим две дискретные случайные величины X и Y. Первая принимает значения –1 и 1 с веро-
ятностями 0,5. Вторая принимает значения –5 и 5 с теми же вероятностями 0,5. Математические ожида-
ния этих величин одинаковы и равны нулю
M(X) = –1
⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,5 = 0
M(Y) = –5 ⋅ 0,5 + 5 ⋅ 0,5 = 0.
Однако очевидно, что вторая величина сильнее отклоняется от своего математического ожидания в
конкретных реализациях, чем первая. Чтобы учесть и оценить эти отклонения, можно в качестве меры
взять математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожи-
дания.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения ее от
математического ожидания самой величины
D(X) = D
x
= M(X – M
x
)
2
.
В рассмотренном выше случае
D
x
= (–1)2 ⋅ 0,5 + 1
2
⋅ 0,5 = 1,

Страницы