Основы теории управления. Бурькова Е.В. - 24 стр.

     4.1 Цель работы

     Применение критериев устойчивости для исследования систем автомати-
ческого регулирования, определение показателей качества регулирования сис-
тем.

     4.2 Общие сведения

     Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью
возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, кото-
рые вывели ее из этого состояния.

     4.2.1 Определение устойчивости по М.Я.Ляпунову

     Невозмущенное движение (при ∆xi∞ = 0 ) называется устойчивым по от-
ношению к переменным xi , если при всяком заданном положительном числе
 A 2 , как бы мало оно не было, можно выбрать другое положительное число
λ2 ( A 2 ) , так, что для всех возмущений ∆xi 0 , удовлетворяющих условию
      n
     ∑ µi2 ∆xi20 ≤ λ2 ,
     i =0
     возмущенное движение будет для времени t ≥ T удовлетворять неравенст-
ву
      n
     ∑ µi2 ∆xi2 ≤ А2 ,
     i =0
      где µ i - коэффициенты, уравновешивающие размерности величин ∆xi 0 .
Если с течением времени lim ∆xi → 0 , то система асимптотически устойчива.
      Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения.
Решение характеристического уравнения есть сумма экспоненциальных функ-
ций
       y (t ) = С1e s1t + С 2 e s2t + ... + С n e snt
      Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого на-
чального положения при различных корнях характеристического уравнения s
(рисунок 4.1)
      По рисунку 4.1 можно заметить, что для затухания переходного процесса
и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещест-
венные части корней были отрицательными, т.е. лежали слева от мнимой оси
плоскости корней. Система будет находиться на границе устойчивости при на-
личии:
      1) нулевого корня;
      2) пары чисто мнимых корней;
      3) бесконечного корня.


26