ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Вариант 6.
Задание 1. Найти пределы функций:
58
02
2
2
76
56
lim)4;
7
lim)3;
1552
2
lim2)
xc);3xb);5xa)при;
3103
352
lim)1
0
−
∞→→→
→
+
−
−−+
−
∞→−→→
++
−+
x
xxx
xx
x
x
xarctg
x
хх
x
xx
xx
Задание 2. Функция задана различными аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента
«х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют;
2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках
разрыва; 3)построить график функции.
>+
≤≤
<−
=
.xесли1,x
2,x,x
,,
)(
2
3
0
0
если
хеслиx
xf
Задание 3. Найти производные данных функций
.453)6,0sin)5;
1
1
)4
;)(arcsin)3;18
4
1
)2;1arccos)1
214
2
2
3
3
28
2
x
x
xctgxyyayx
t
t
y
tx
xyxxyxy
−
+==+−
−
=
−=
=
−+=+=
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). На начальном
этапе фирма организует производство так, чтобы
минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на
товар устанавливается цена р условных единиц за единицу
товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить
выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом
изменяются средние издержки?
37
2
5
210)(
2
=++= p
x
xxС
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
)(
x
f
y
=
на отрезке [а,в]:
[]
.5;2,0;52
1
2
2
−−+
+
+= x
x
xy
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального
исчисления функцию и построить график:
.
)5(
4
2
−
−
=
x
x
y
63
Вариант 7.
Задание 1. Найти пределы функций:
26
03
2
2
75
72
lim)4;
5arcsin
lim)3;
3
5137
lim2)
xc);4xb);3xa)при;
1252
4154
lim)1
0
+
∞→→−→
→
−
−
+
−−−
∞→−→→
−+
−+
x
xxx
xx
x
x
x
x
х
хх
xx
xx
Задание 2. Функция задана различными аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента
«х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют;
2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках
разрыва; 3)построить график функции.
≥
<<
≤−
=
.xесли2x,
2,x,x
,,
)(
2
2
0
01
если
хеслиx
xf
Задание 3. Найти производные данных функций
325
2
2
sin
2
4
7)21ln(3)6),cos(sin)5;
1
)1ln(
)4
;)(ln)3;3
2
5)2;1arccos)1
−
+−=−=
+=
++=
=
+−=−=
x
x
xxyyxxy
tty
ttx
xy
xx
xyxy
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном
этапе фирма организует производство так, чтобы
минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на
товар устанавливается цена р условных единиц за единицу
товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить
выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом
изменяются средние издержки?
5,10
4
5
2
10)(
2
=++= p
xx
xС
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
)(
x
f
y
=
на отрезке [а,в]:
[
]
.1;5;3243
23
−−+−−= xxxy
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального
исчисления функцию и построить график:
.
12
4
2
−
−
=
x
x
y
64
Вариант 6. Вариант 7.
Задание 1. Найти пределы функций: Задание 1. Найти пределы функций:
2 x 2 + 5x − 3 4 x 2 + 15 x − 4
1) lim ; при a) x → 5; b) x → −3; c) x → ∞ 1) lim ; при a) x → 3; b) x → −4; c) x → ∞
x → x0 3 x 2 + 10 x + 3 x → x0 2 x 2 + 5 x − 12
8 x −5 6 x+2
x−2 x 6x − 5 7 − 3х − 1 − 5 х arcsin 5 x 2 − 7x
2) lim ; 3) lim ; 4) lim 2) lim ; 3) lim ; 4) lim
x →2 2 х + 5 − 5х − 1 x →0 arctg 7 x x →∞ 6 x + 7 x → −3 х+3 x →0 x x → ∞ 5 − 7 x
Задание 2. Функция задана различными аналитическими Задание 2. Функция задана различными аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента выражениями для различных областей изменения аргумента
«х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют;
2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках
разрыва; 3)построить график функции. разрыва; 3)построить график функции.
− x, если х < 0, x − 1, если х ≤ 0,
f ( x) = x 2 , если 0 ≤ x ≤ 2, f ( x) = x 2 , если 0 < x < 2,
x + 1, если x > 3. 2x, если x ≥ 2.
Задание 3. Найти производные данных функций Задание 3. Найти производные данных функций
3 2
1) y = arccos x + 1;
1 2
2) y = x 8 + 83 x 2 − 1 ; 3) y = (arcsin x) x ; 2
1) y = arccos 1 − x ; 2) y = 5 x 4 − + 3 ; 3) y = (ln x)sin x ;
4 x x
x = 1 − t2 x = ln(t + t 2 + 1)
; 5) y sin x = cos( x − y ), 6) y = 3 x 5 ln(1 − 2 x) + 7 2 x − 3
4) t ; 5) x − y + a sin y = 0, 6) y = 3x 4 ctg 5 x + 41− 2 x. 4)
y= y = t t + 1
2
1 − t2
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). На начальном Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном
этапе фирма организует производство так, чтобы этапе фирма организует производство так, чтобы
минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на
товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товар устанавливается цена р условных единиц за единицу
товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить
выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом
2 изменяются средние издержки?
изменяются средние издержки? С ( x) = 10 + 2 x + 5 x p = 37 x 5x 2
2 С ( x ) = 10 + + p = 10,5
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ- 2 4
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 2 + 2 + 2 x − 5; [− 0,2;5].
x +1
ции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 3 − 3x 2 − 24 x + 3; [− 5;−1].
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального Задание 6. Исследовать средствами дифференциального
исчисления функцию и построить график: y = x − 4 .
2
исчисления функцию и построить график: y = 4 − x .
( x − 5) 2 2x − 1
63 64
