Высшая математика. Бурлова Л.В - 4 стр.

UptoLike

Рубрика: 

образом несколько строк и такое же число столбцов
матрицы, составим определитель из элементов, стоящих на
пересечении выбранных строк и столбцов. Каждый такой
определитель называется минором соответствующего
порядка данной матрицы.
Пример. Пусть
А=
7693
3462
4231
.
Выбрав 1 и 3 строки, 1 и 4 столбцы данной матрицы,
получаем минор 2-го порядка матрицы А:
5127
73
41
==
. Этот минор равен -5.
Взяв три строки и первые три столбца, составим минор
3-го порядка данной матрицы:
0
693
462
231
=
, который оказался равен нулю.
Минорами первого порядка являются сами элементы
матрицы.
Среди отличных от нуля миноров найдется по крайней
мере один минор, порядок которого будет наибольшим.
Определение. Наибольший из порядков миноров
данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом
матрицы. Ранг матрицы А обозначается r(А).
Метод окаймления миноров нахождения ранга
матрицы состоит в следующем:
1). Находится минор рассматриваемой матрицы,
отличный от нуля (первого, второго и т.д. порядков).
2). Окаймляя его строками и столбцами ( из числа
оставшихся строк и столбцов), то есть добавляя еще одну
5
строку и столбец, находят минор следующего порядка,
отличный от нуля. Как только такой минор нашелся,
прекращают вычисление миноров данного порядка и
переходят к вычислению миноров следующего порядка,
получаемых окаймлением найденного. Процесс
продолжается до тех пор, пока не получат, что все миноры
какого-либо порядка равны нулю. Миноры более высоких
порядков далее уже не рассматриваются, так как все они
равны нулю.
Пример. Найдем ранг матрицы
А=
10743
2101
4321
.
Минор М
12
12
=
2
01
21
=
0.
Далее миноры второго порядка уже не вычисляют, а
вычисляют миноры третьего порядка, полученные
окаймлением минора М
12
12
. Для окаймления осталась третья
строка и столбцы третий и четвертый.
М
0
743
101
321
123
123
==
; М
0
1043
201
431
124
123
==
.
Больше миноров третьего порядка, окаймляющих М
12
12
нет, все миноры третьего порядка равны нулю.
Следовательно, ранг матрицы r(А)=2.
Метод элементарных преобразований определения
ранга матрицы основан на следующих свойствах.
Ранг матрицы не меняется:
1) при перестановке местами ее строк (или столбцов);
2) при умножении всех элементов ее строки (столбца)
на отличное от нуля число;
3) если к элементам какой - либо строки (столбца)
6