Высшая математика. Бурлова Л.В - 4 стр.

образом несколько строк и такое же число столбцов           строку и столбец, находят минор следующего порядка,
матрицы, составим определитель из элементов, стоящих на     отличный от нуля. Как только такой минор нашелся,
пересечении выбранных строк и столбцов. Каждый такой        прекращают вычисление миноров данного порядка и
определитель называется минором соответствующего            переходят к вычислению миноров следующего порядка,
порядка данной матрицы.                                     получаемых         окаймлением        найденного.     Процесс
   Пример. Пусть                                            продолжается до тех пор, пока не получат, что все миноры
                 1 3 2 4                                  какого-либо порядка равны нулю. Миноры более высоких
                                                          порядков далее уже не рассматриваются, так как все они
              А=  2 6 4 3  .
                 3 9 6 7                                  равны нулю.
                                                                 Пример. Найдем ранг матрицы
    Выбрав 1 и 3 строки, 1 и 4 столбцы данной матрицы,                                    1 2 3 4 
получаем минор 2-го порядка матрицы А:                                                                 
                                                                                     А=  1 0 1 2  .
                                                                                           3 4 7 10 
     1 4                                                                                               
           = 7 − 12 = −5 .   Этот минор равен -5.                               1 2
     3 7                                                         Минор М 12         = −2 ≠0.
                                                                           12 =
                                                                                1 0
     Взяв три строки и первые три столбца, составим минор        Далее миноры второго порядка уже не вычисляют, а
3-го порядка данной матрицы:                                вычисляют миноры третьего порядка, полученные
       1 3 2                                                окаймлением минора М 12  12 . Для окаймления осталась третья

        2 6 4 = 0 , который оказался равен нулю.            строка и столбцы третий и четвертый.
       3 9 6                                                              1 2 3                       1 3 4
     Минорами первого порядка являются сами элементы              М 123 = 1 0 1 = 0 ;
                                                                     123
                                                                                              М 123 = 1 0 2 = 0 .
                                                                                                124


матрицы.                                                                 3 4 7                    3 4 10
     Среди отличных от нуля миноров найдется по крайней
                                                                  Больше миноров третьего порядка, окаймляющих М 12   12
мере один минор, порядок которого будет наибольшим.
     Определение. Наибольший из порядков миноров            нет, все миноры третьего порядка равны нулю.
данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом         Следовательно, ранг матрицы r(А)=2.
матрицы. Ранг матрицы А обозначается r(А).                         Метод элементарных преобразований определения
      Метод окаймления миноров нахождения ранга             ранга матрицы основан на следующих свойствах.
матрицы состоит в следующем:                                       Ранг матрицы не меняется:
      1). Находится минор рассматриваемой матрицы,                 1) при перестановке местами ее строк (или столбцов);
отличный от нуля (первого, второго и т.д. порядков).               2) при умножении всех элементов ее строки (столбца)
      2). Окаймляя его строками и столбцами ( из числа      на отличное от нуля число;
оставшихся строк и столбцов), то есть добавляя еще одну            3) если к элементам какой - либо строки (столбца)

5
                                                                                                                        6