Высшая математика. Бурлова Л.В - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

а
1
=
7
1
5
3
, а
2
=
5
3
3
1
, а
3
=
1
5
2
3
, а
4
=
4
0
3
2
, а
5
=
1
7
4
5
.
Составим матрицу, столбцами которой являются
векторы, и найдем ее ранг.
=
1
7
4
5
4157
0531
3235
2313
А
Приведем матрицу к каноническому виду, не меняя
местами столбцы. Получим, матрицу
1
0
0
0
1
0
000
000
001
.
Видно, что r (A)=3, ранг системы векторов также равен
3, r (А)=3<5, поэтому данная система векторов линейно
зависима . в базисный минор вошли векторы
а
1
, а
4
, а
5
,
следовательно, эти векторы образуют базис данной системы
векторов. В базис не вошли векторы
а
2
, а
3
. Разложим вектор
а
2
по найденному базису:
а
2
=x
1
a
1
+x
2
а
4
+x
3
а
5
.
Запишем это равенство в матричном виде
5
3
3
1
=х
1
7
1
5
3
+ х
2
4
0
3
2
+х
3
1
7
4
5
.
Умножая матрицы на число, складывая матрицы в
правой части и учитывая, что две матрицы равны, если равны
их соответствующие элементы, получим систему уравнений
9
++=
=
++=
++=
321
31
321
321
475
73
4353
5231
xxx
xx
xxx
xxx
Решив систему найдем коэффициенты разложения
321
,, xxx
. Аналогично находится разложение вектора а
3
по
базису {
а
1
, а
4
, а
5
}. (решение таких систем рассмотрим в
след. пункте).
Теорема (о базисном миноре):
Всякий столбец (строка)
матрицы является линейной комбинацией ее базисных
столбцов (строк). Сами базисные столбцы (строки) линейно
независимы.
Вследствие этой теоремы определитель n-порядка
тогда и только тогда равен нулю, когда его столбцы (строки)
линейно зависимы.
7. Системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ): основные понятия. Теорема Кронекера-
Капелли. Решение произвольных СЛАУ.
Правило Крамера. Метод Жордана-Гаусса.
Матричный метод. Однородные СЛАУ.
По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ имеет решение
тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен
рангу расширенной матрицы.
Остановимся на решении произвольных систем.
Рассмотрим систему
=+++
=+++
=+++
,...
..........................................
...
...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
где
10