Высшая математика. Бурлова Л.В - 6 стр.

     3            − 1            3            2            5                       − 1 = 3 x1 + 2 x2 + 5 x3
                                                              
а1=  5  ,   а 2=  − 3  ,   а 3=  2  ,   а 4=  3  ,   а 5=  4  .                    − 3 = 5 x + 3x + 4 x
                                                                                                      1      2      3
    1             − 3            − 5         0            − 7                     
                                                                        − 3 = x1           − 7 x3
     7             − 5            1            4            1                      − 5 = 7 x1 + 4 x2 + x3
     Составим матрицу, столбцами которой являются
                                                                                    Решив систему найдем коэффициенты разложения
векторы, и найдем ее ранг.
                      3 −1 3 2 5                                          x1 , x 2 , x 3 . Аналогично находится разложение вектора а3 по
                                       
                      5 − 3 2 3 4                                         базису { а1, а4, а5}. (решение таких систем рассмотрим в
                  А=                                                       след. пункте).
                         1 − 3 − 5 0 − 7
                                                                                 Теорема (о базисном миноре): Всякий столбец (строка)
                        7 − 5  1  4  1                                    матрицы является линейной комбинацией ее базисных
     Приведем матрицу к каноническому виду, не меняя                        столбцов (строк). Сами базисные столбцы (строки) линейно
местами столбцы. Получим, матрицу                                           независимы.
                      1 0 0 0 0                                                    Вследствие этой теоремы определитель n-порядка
                                  .
                      0 0 0 1 0                                           тогда и только тогда равен нулю, когда его столбцы (строки)
                      0 0 0 0 1                                           линейно зависимы.
                                  
     Видно, что r (A)=3, ранг системы векторов также равен                             7. Системы линейных алгебраических уравнений
3, r (А)=3<5, поэтому данная система векторов линейно                                     (СЛАУ): основные понятия. Теорема Кронекера-
зависима . в базисный минор вошли векторы а1, а4, а5,                                     Капелли.   Решение   произвольных    СЛАУ.
следовательно, эти векторы образуют базис данной системы                                  Правило Крамера. Метод Жордана-Гаусса.
векторов. В базис не вошли векторы а2, а3. Разложим вектор                                Матричный метод. Однородные СЛАУ.
а2 по найденному базису:
              а2=x1a1+x2а4+x3а5.                                                 По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ имеет решение
     Запишем это равенство в матричном виде                                 тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен
              − 1                                                         рангу расширенной матрицы.
                        3        2       5                               Остановимся на решении произвольных систем.
                                           
              − 3  =х1  5  + х2  3  +х3  4  .                       Рассмотрим систему
              − 3      1         0      − 7
                                   
                                                                             a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
               − 5      7         4       1                          a x + a x + ... + a x = b
     Умножая матрицы на число, складывая матрицы в                           21 1         22 2              2n n        2 где
правой части и учитывая, что две матрицы равны, если равны                  
                                                                             ..........................................
их соответствующие элементы, получим систему уравнений                      a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm ,

9
                                                                                                                                        10