Высшая математика. Бурлова Л.В - 5 стр.

прибавить соответствующие элементы другой строки            Столбцы и строки, на пересечении которых расположен
(столбца), умноженные на одно и то же число.                базисный минор, называются базисными строками и
       Преобразования 1-3 называются элементарными          столбцами.
преобразованиями матрицы. Метод же заключается в том,
что с помощью элементарных преобразований исходная                   6.   n-мерные векторы, n-мерное векторное
матрица приводится к так называемому каноническому виду                   пространство. Линейная зависимость векторов,
1 0 0 Λ    0                                                            свойства   линейной    зависимости.    Базис
                                                                        системы векторов, ранг системы векторов.
0 1 0 Λ    0 ,   число единиц на главной диагонали
0 0 1 Λ    0 
                                                                          Базис пространства Rn. Координаты вектора.
                                                                         Теорема о базисном миноре.
которого равно рангу матрицы.
                                     2 −1 3 − 2 4              Кратко сформулируем правила решения типовых задач.
    Пример. Найдем ранг матрицы А=  4 − 2 5 1 7  .           Исследование линейной зависимости векторов.
                                     2 −1 1 8 2                Пусть требуется исследовать линейную зависимость
                                                  
    Проследите самостоятельно      какие    элементарные    векторов a1 , a 2 ,..., a k . Если векторы линейно независимы, то
преобразования были проделаны.                              все они входят в базис этой системы векторов и ранг этой
     2 −1 3 − 2 4  2 −1 3 − 2 4                         системы равен k. Ранг матрицы, составленной из координат
                                                        этих векторов, также равен k. Если векторы линейно
    4 − 2 5 1 7 → 0 0 −1 5 −1 →
     2 − 1 1 8 2   0 0 − 2 10 − 2                       зависимы, то число базисных векторов меньше k, ранг
                                                        системы векторов меньше k. Отсюда правило:
     1 − 1 3 −  2  4    1  − 1 3  − 2  4                     а) составляется матрица из координат данной системы
                                          
     0 0 − 1 5 − 1 →  0 0 − 1 5 − 1 →                   векторов и находится ее ранг;
     0 0 − 1 5 − 1  0 0                                       б) если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы
                               0   0   0 
                                                            линейно независимы, если же ранг матрицы меньше числа
1 4    3 − 2 0 1 0        0 0 0 1 0 0 0 0             векторов, то они линейно зависимы.
                                               
 0 −1 −1 5 0 → 0 −1 −1 5 0 →  0 1 0 0 0                    Нахождение какого-либо базиса системы векторов.
0 0    0   0 0   0 0    0 0 0   0 0 0 0 0             Находится какой-либо базисный минор матрицы

                                                            системы векторов. Векторы, координаты которых вошли в
    Две единицы на главной диагонали, следовательно, ранг
                                                            базисный минор, образуют базис.
матрицы r(А)=2.
                                                                 Нахождение ранга системы векторов.
    Пусть матрица А имеет ранг r. По определению, эта
                                                                 Составляется матрица системы векторов. Ранг системы
матрица содержит отличный от нуля минор r-го порядка. Их
                                                            векторов равен рангу этой матрицы.
может быть несколько.
                                                                 Пример. Найти ранг системы векторов, какой-либо ее
    Любой отличный от нуля минор матрицы А порядка,
                                                            базис, разложить по данному базису векторы не вошедшие в
равного рангу матрицы, называется базисным минором.
                                                            базис. Даны

7
                                                                                                                           8