Высшая математика. Бурлова Л.В - 5 стр.

UptoLike

Рубрика: 

прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженные на одно и то же число.
Преобразования 1-3 называются элементарными
преобразованиями матрицы. Метод же заключается в том,
что с помощью элементарных преобразований исходная
матрица приводится к так называемому каноническому виду
0100
0010
0001
Λ
Λ
Λ
, число единиц на главной диагонали
которого равно рангу матрицы.
Пример. Найдем ранг матрицы А=
28112
71524
42312
.
Проследите самостоятельно какие элементарные
преобразования были проделаны.
210200
15100
42312
28112
71524
42312
00000
15100
42311
15100
15100
42311
00000
00010
00001
00000
05110
00001
00000
05110
02341
Две единицы на главной диагонали, следовательно, ранг
матрицы r(А)=2.
Пусть матрица А имеет ранг r. По определению, эта
матрица содержит отличный от нуля минор r-го порядка. Их
может быть несколько.
Любой отличный от нуля минор матрицы А порядка,
равного рангу матрицы, называется базисным минором.
7
Столбцы и строки, на пересечении которых расположен
базисный минор, называются базисными строками и
столбцами.
6. n-мерные векторы, n-мерное векторное
пространство. Линейная зависимость векторов,
свойства линейной зависимости. Базис
системы векторов, ранг системы векторов.
Базис пространства R
n
. Координаты вектора.
Теорема о базисном миноре.
Кратко сформулируем правила решения типовых задач.
Исследование линейной зависимости векторов
.
Пусть требуется исследовать линейную зависимость
векторов
k
aaa ,...,,
21
. Если векторы линейно независимы, то
все они входят в базис этой системы векторов и ранг этой
системы равен k. Ранг матрицы, составленной из координат
этих векторов, также равен k. Если векторы линейно
зависимы, то число базисных векторов меньше k, ранг
системы векторов меньше k. Отсюда правило:
а) составляется матрица из координат данной системы
векторов и находится ее ранг;
б) если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы
линейно независимы, если же ранг матрицы меньше числа
векторов, то они линейно зависимы.
Нахождение какого-либо базиса системы векторов.
Находится какой-либо базисный минор матрицы
системы векторов. Векторы, координаты которых вошли в
базисный минор, образуют базис.
Нахождение ранга системы векторов.
Составляется матрица системы векторов. Ранг системы
векторов равен рангу этой матрицы.
Пример. Найти ранг системы векторов, какой-либо ее
базис, разложить по данному базису векторы не вошедшие в
базис. Даны
8