Высшая математика. Бурлова Л.В - 7 стр.

UptoLike

Рубрика: 

=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
А
...
.............
...
...
21
22221
11211
- матрица системы, а
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bА
...
...
.............
...
...
/
2
1
21
22221
11211
-расширенная матрица системы,
х
1
,х
2
,…,х
n
неизвестные.
Пусть r (А)=r (А/b)=r. Согласно теореме Кронекера-
Капелли система совместна. Базисный минор матрицы А
будет иметь r строк и r столбцов. Уравнения,
соответствующие базисным строкам, называются базисными
уравнениями., а неизвестные, соответствующие базисным
столбцам, называются базисными неизвестными, остальные
неизвестные системысвободные. Выражение базисных
неизвестных через свободные неизвестные называется
общим решением системы, а решения, получаемые из
общего при заданных числовых значениях свободных
неизвестных называются частными решениями системы.
Теорема. СЛАУ эквивалентна системе своих базисных
уравнений.
Из вышеизложенного следует правило решения
произвольной системы линейных уравнений.
а) Вычисляются ранги основной и расширенной матриц
системы. Если система совместна (r (А)=r (А/b)), то
находится какой-либо базисный минор.
б) Составляется базисная система уравнений, при этом
свободные неизвестные переносятся в правую часть
уравнений.
в) Решается базисная система относительно базисных
неизвестных и находится общее решение системы.
Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если
она совместна.
11
=+
=+
=
+
543
13
32
321
321
321
xxx
xxx
xxx
=
=
5
1
3
143
131
121
/
143
131
121
bAA
Применяя один из описанных выше методов найдем
ранги матриц. Проверьте, что r (А)=r (А/b)=2. По теореме
Кронекера-Капелли система совместна, то есть имеет
решение.
В качестве базисного минора можно взять любой минор
2-го порядка, не равный нулю. Возьмем в качестве базисного
минора
5
31
21
=
.
В базисную систему войдут 1-е и 2-е уравнения, х
1
и х
2
являются базисными неизвестными, а х
3
свободной
неизвестной. Запишем базисную систему в виде
+=+
=
321
321
13
32
xxx
xxx
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
.
5
22
3
2
x
x
=
Подставляя х
2
в первое уравнение, найдем
5
11
3
1
x
x
=
.
И так, общее решение
+=
=
32
31
5
2
5
2
5
1
5
11
xx
xx
.
Так как х
3
может принимать любые действительные
значения, то система имеет бесконечное множество решений.
Найдем частное решение, например при х
3
=1
01
5
2
5
2
21
5
1
5
11
2
1
=+=
==
x
x
12