Высшая математика. Бурлова Л.В - 7 стр.

        a11       a12   ... a1n                                             x1 − 2 x 2 + x 3 = 3
                                                                           
       a          a22   ... a2 n  - матрица системы, а                      x1 + 3x 2 − x 3 = 1
  А =  21
            ...    .... ... ...                                             3x + 4 x − x = 5
                                                                              1
                                                                                      2     3

         am1      am 2 ... amn                                         1 − 2 1                      1 − 2 1 3
                                                                                                                
          a11      a12 ... a1n b1                                   A =  1 3 − 1            A / b = 1 3 − 1 1
                                                                         3 4 − 1                     3 4 − 1 5
         a         a22 ... a2 n b2  -расширенная матрица системы,                                             
А / b =  21
             ...    .... ... ... ...                                      Применяя один из описанных выше методов найдем
                                                                   ранги матриц. Проверьте, что r (А)=r (А/b)=2. По теореме
           am1    am 2 ... amn bm 
                                                                      Кронекера-Капелли система совместна, то есть имеет
х1,х2,…,хn – неизвестные.                                             решение.
      Пусть r (А)=r (А/b)=r. Согласно теореме Кронекера-                   В качестве базисного минора можно взять любой минор
Капелли система совместна. Базисный минор матрицы А                   2-го порядка, не равный нулю. Возьмем в качестве базисного
будет иметь r строк и r столбцов. Уравнения,                          минора 1 − 2 = 5 .
соответствующие базисным строкам, называются базисными                             1     3
уравнениями., а неизвестные, соответствующие базисным
                                                                           В базисную систему войдут 1-е и 2-е уравнения, х1 и х2
столбцам, называются базисными неизвестными, остальные
                                                                      являются базисными неизвестными, а х3 – свободной
неизвестные системы – свободные. Выражение базисных
                                                                      неизвестной. Запишем базисную систему в виде
неизвестных через свободные неизвестные называется
                                                                       x1 − 2 x 2 = 3 − x3
общим решением системы, а решения, получаемые из                      
общего при заданных числовых значениях свободных                       x1 + 3x 2 = 1 + x3
неизвестных называются частными решениями системы.                           Вычитая из первого уравнения второе, найдем
      Теорема. СЛАУ эквивалентна системе своих базисных                    2 − 2 x3Подставляя х2 в первое уравнение, найдем
                                                                      x2 =           .
уравнений.                                                                     5
                                                                           11 − x 3 .
      Из вышеизложенного следует правило решения                      x1 =
                                                                              5
произвольной системы линейных уравнений.
                                                                                                                  11 1
      а) Вычисляются ранги основной и расширенной матриц                     И так, общее решение            x1 = 5 − 5 x 3 .
системы. Если система совместна (r (А)=r (А/b)), то                                                                2 2
                                                                                                            x 2 = − + x3
находится какой-либо базисный минор.                                                                               5 5
      б) Составляется базисная система уравнений, при этом                 Так как х3 может принимать любые действительные
свободные неизвестные переносятся в правую часть                      значения, то система имеет бесконечное множество решений.
уравнений.                                                            Найдем частное решение, например при х3=1
      в) Решается базисная система относительно базисных                                      x1 =
                                                                                                   11 1
                                                                                                      − ⋅1 = 2
неизвестных и находится общее решение системы.                                                      5 5
                                                                                                     2 2
Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если                                       x2 = − + ⋅ 1 = 0
                                                                                                     5 5
она совместна.

11
                                                                                                                                 12