Высшая математика. Бурлова Л.В - 8 стр.

UptoLike

Рубрика: 

Это частное решение следующее: х
1
=2, х
2
=0, х
3
=1.
Методы решения систем линейных уравнений методом
Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы смотри,
например, в [2].
Рассмотрим пример применения теории линейных
уравнений в экономических задачах.
Пусть производится n видов продукции, для чего
используется m видов ресурсов (сырье, электроэнергия,
трудозатраты и т.д.). Обозначим через а
ij
количество
ресурса i-го вида, необходимое для производства единицы
продукции j-го вида, b
i
объем затраченного i-го ресурса, а
x
j
количество производимой j-ой продукции. Построим
матрицы затрат А, вектор ресурсов В и вектор выпуска Х:
=
=
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
А
...
,
...
,
...
.............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
.
Тогда соотношение между израсходованными
ресурсами и произведенной продукцией можно записать в
виде матричного уравнения АХ=В.
Пример. На производство двух видов вязанных изделий
(свитеров и костюмов) предприятие израсходовало 62 кг
шерсти и 32 кг пана. Вязальные машины работали 170 часов.
На изготовление одного свитера расходуется 0,5 кг шерсти,
0,2 кг пана 1,5 часа работы вязальной машины. Для одного
костюма эти данные соответственно таковы: 0,8кг, 0,5 кг, 2
часа. Найти количество выпущенных свитеров и костюмов.
Имеем
=
=
=
2
1
170
32
62
2
5,0
8,0
5,1
2,0
5,0
х
х
ХВА
Запишем матричное уравнение
=
170
32
62
2
5,0
8,0
5,1
2,0
5,0
2
1
х
х
,
13
которое равносильно системе уравнений
1700,25,1
325,02,0
622,05,0
21
21
21
=+
=+
=
+
xx
xx
xx
Решив систему например методом Гаусса найдем
вектор выпуска продукции: х
1
=60, х
2
=40.
II. Аналитическая геометрия и элементы
векторной алгебры
В данном разделе необходимо изучить следующие
вопросы. Рассмотрим также решение некоторых основных
задач.
1. Прямоугольные координаты на плоскости и в
пространстве. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении.
В прямоугольной системе координат каждой точке М
плоскости соответствует упорядоченная пара чисел (x,y),
числа являются проекциями точки на оси координат и
называются координатами точки. Расстояние
ABd
=
между
двумя точками А(х
1
,y
1
) и В(x
2
,y
2
) на плоскости вычисляется
по формуле
2
12
2
12
)()( yyxxd +=
.
Для точек А (х
1
,y
1
,z
1
) и В(x
2
,y
2
,z
2
), заданных в
пространстве, справедлива аналогичная формула
2
12
2
12
2
12
)()()( zzyyxxd ++=
.
Зная координаты концов А и В отрезка АВ, можно
найти координаты точки М(х,у,z), которая делит данный
отрезок в отношении
MB
АM
=
λ
, по формулам:
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
=
+
+
=
+
+
=
1
,
1
,
1
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
В частности,
если М является серединой отрезка АВ, то λ=1.
14