Высшая математика. Бурлова Л.В - 10 стр.

UptoLike

Рубрика: 

21
2
1
1
ll
k
k =
(условие перпендикулярности прямых).
Если задана точка М
0
(х
0
,у
0
), через которую проходит
прямая, и известен ее угловой коэффициент k, то уравнение
этой прямой имеет вид:
)(
00
xxkyy
=
. Если в этом
уравнении k является произвольным параметром, то данное
уравнение называется уравнением пучка прямых,
проходящих через точку М
0
.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки А (х
1
,у
1
) и В (х
2
,у
2
), имеет вид:
12
1
12
1
хх
хх
уу
уу
=
(при
условии, что
2121
ууихх
). Если у
2
=у
1
, то уравнение
искомой прямой имеет вид: у=у
1
и в этом случае прямая
параллельна оси ох. Если х
1
=х
2
, то прямая параллельна оси
оу и ее уравнение имеет вид: х=х
1
.
Пример. Задан треугольник с вершинами А (1,1), В (2,5)
и С (5,-1). Найти уравнения стороны ВС, средней линии MN
треугольника, параллельной ВС, проекцию точки Д (6,5) на
прямую ВС.
у
В Д
К
N
1А
1 М х
С
Подставив координаты точек В и С в уравнение прямой,
проходящей через две точки, получаем уравнение прямой
ВС:
17
)2(6)5(3
25
2
51
5
=
=
ху
х
у
или, окончательно,
92
+
=
х
у
. Из уравнения следует, что
2=
BC
k
. Найдем координаты точки N – середины стороны
АВ:
3
22
3
2
=
+
==
+
=
BA
N
BA
N
yy
y
xx
x
.
Так как средняя линия параллельна стороне ВС, то
2
=
=
BCMN
kk
. Подставляя известные данные в уравнение
пучка прямых, получим уравнение медианы:
62
2
3
23 +=
= xyxy
.
Проекцией точки Д на прямую ВС называют точку
пересечения прямой
l
и перпендикуляра, опущенного из
точки Д на ВС. Это будет точка К (см. рис.). Значение
КД
k
найдем из условия перпендикулярности прямых:
2
11
==
BC
КД
k
k
. Воспользуемся опять уравнением пучка
прямых и найдем уравнение перпендикуляра ДК:
()
2
2
1
6
2
1
5 +== xyxy
.
Наконец, чтобы найти координаты точки К надо решить
систему уравнений прямых ВС и КД:
+=
+
=
2
2
1
92
ху
ху
. Откуда К
5
13
,
5
16
.
3. Векторы на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора. Базис, разложение по
базису.
Из школьного курса известно, что вектор на плоскости
можно единственным образом разложить по двум
18