Высшая математика. Бурлова Л.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

21
2
1
1
ll
k
k ⊥⇔−=
(условие перпендикулярности прямых).
Если задана точка М
0
(х
0
,у
0
), через которую проходит
прямая, и известен ее угловой коэффициент k, то уравнение
этой прямой имеет вид:
)(
00
xxkyy
−
=
−
. Если в этом
уравнении k является произвольным параметром, то данное
уравнение называется уравнением пучка прямых,
проходящих через точку М
0
.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки А (х
1
,у
1
) и В (х
2
,у
2
), имеет вид:
12
1
12
1
хх
хх
уу
уу
−
−
=
−
−
(при
условии, что
2121
ууихх ≠
≠
). Если у
2
=у
1
, то уравнение
искомой прямой имеет вид: у=у
1
и в этом случае прямая
параллельна оси ох. Если х
1
=х
2
, то прямая параллельна оси
оу и ее уравнение имеет вид: х=х
1
.
Пример. Задан треугольник с вершинами А (1,1), В (2,5)
и С (5,-1). Найти уравнения стороны ВС, средней линии MN
треугольника, параллельной ВС, проекцию точки Д (6,5) на
прямую ВС.
у
В Д
К
N
1А
1 М х
С
Подставив координаты точек В и С в уравнение прямой,
проходящей через две точки, получаем уравнение прямой
ВС:
17
)2(6)5(3
25
2
51
5
−−=−⇒
−
−
=
−
−
−
ху
х
у
или, окончательно,
92
+
−
=
х
у
. Из уравнения следует, что
2−=
BC
k
. Найдем координаты точки N – середины стороны
АВ:
3
22
3
2
=
+
==
+
=
BA
N
BA
N
yy
y
xx
x
.
Так как средняя линия параллельна стороне ВС, то
2
−
=
=
BCMN
kk
. Подставляя известные данные в уравнение
пучка прямых, получим уравнение медианы:
62
2
3
23 +−=⇒
−−=− xyxy
.
Проекцией точки Д на прямую ВС называют точку
пересечения прямой
l
и перпендикуляра, опущенного из
точки Д на ВС. Это будет точка К (см. рис.). Значение
КД
k
найдем из условия перпендикулярности прямых:
2
11
=−=
BC
КД
k
k
. Воспользуемся опять уравнением пучка
прямых и найдем уравнение перпендикуляра ДК:
()
2
2
1
6
2
1
5 +=⇒−=− xyxy
.
Наконец, чтобы найти координаты точки К надо решить
систему уравнений прямых ВС и КД:
+=
+
−
=
2
2
1
92
ху
ху
. Откуда К
5
13
,
5
16
.
3. Векторы на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора. Базис, разложение по
базису.
Из школьного курса известно, что вектор на плоскости
можно единственным образом разложить по двум
18 
         1                                                             у−5 х−2
     k1 = − ⇔ l1 ⊥ l 2 (условие перпендикулярности прямых).                =      ⇒ 3( у − 5) = −6( х − 2)
         k2                                                           −1− 5 5 − 2
      Если задана точка М0 (х0,у0), через которую проходит      или, окончательно, у = −2 х + 9 . Из уравнения следует, что
прямая, и известен ее угловой коэффициент k, то уравнение       k BC = −2 . Найдем координаты точки N – середины стороны
этой прямой имеет вид: y − y 0 = k ( x − x 0 ) . Если в этом    АВ:
уравнении k является произвольным параметром, то данное               x + xB 3          y + yB
                                                                xN = A       =      yN = A      = 3.
уравнение     называется       уравнением     пучка   прямых,              2           2                 2
проходящих через точку М0.                                           Так как средняя линия параллельна стороне ВС, то
      Уравнение прямой, проходящей через две заданные           k MN = k BC = −2 . Подставляя известные данные в уравнение
точки А (х1,у1) и В (х2,у2), имеет вид: у − у1 = х − х1 (при    пучка прямых, получим уравнение медианы:
                                        у 2 − у1 х 2 − х1                           3
                                                                      y − 3 = −2 x −  ⇒ y = −2 x + 6 .
условии, что х1 ≠ х 2 и у1 ≠ у 2 ). Если у2=у1, то уравнение                               2
искомой прямой имеет вид: у=у1 и в этом случае прямая                Проекцией точки Д на прямую ВС называют точку
параллельна оси ох. Если х1=х2, то прямая параллельна оси       пересечения прямой l и перпендикуляра, опущенного из
оу и ее уравнение имеет вид: х=х1.                              точки Д на ВС. Это будет точка К (см. рис.). Значение k КД
      Пример. Задан треугольник с вершинами А (1,1), В (2,5)    найдем            из       условия           перпендикулярности   прямых:
и С (5,-1). Найти уравнения стороны ВС, средней линии MN                    1      1
треугольника, параллельной ВС, проекцию точки Д (6,5) на        k КД = −          = . Воспользуемся опять уравнением пучка
                                                                           k BC    2
прямую ВС.                                                      прямых и найдем уравнение перпендикуляра ДК:
    у                                                                      1             1
                                                                    y − 5 = (x − 6) ⇒ y = x + 2 .
                                                                                  2                  2
                                                                     Наконец, чтобы найти координаты точки К надо решить
                   В       Д                                    систему уравнений прямых ВС и КД:
                       К
                                                                      у = −2 х + 9
               N                                                                                16 13 
                                                                       у = 1 х + 2 . Откуда К  ,  .
                                                                                             5 5
          1А                                                                2

               1       М             х                                 3.             Векторы на плоскости и в пространстве.
                           С                                                          Координаты  вектора. Базис, разложение по
                                                                                      базису.
    Подставив координаты точек В и С в уравнение прямой,
проходящей через две точки, получаем уравнение прямой               Из школьного курса известно, что вектор на плоскости
ВС:                                                             можно единственным образом разложить по двум


                                                                                                                                       18
17

Страницы