Высшая математика. Бурлова Л.В - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

5. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Плоскость однозначно определяется точкой на
плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка
М
0
(х
0
,у
0
,z
0
) лежит на плоскости, вектор
),,( CBAn
перпендикулярен к плоскости, М
(x,y,z)
произвольная точка
плоскости
nMM
0
скалярное произведение
0)()()(0
0000
=++= zzCyyBxxAnMM
. Преобразуя
последнее равенство, получим Ах+Ву+Сz+Д=0, где Д=-Ах
0
-
Ву
0
-Сz
0
.
Уравнение Ах+Ву+Сz+Д=0 называется общим
уравнением плоскости в пространстве. Вектор
n
называется
нормальным вектором плоскости.
),,( CBAn
Верно, что всякое уравне
ние первой степени отно -
сительно трех переменных
х,у,zопределяет некоторую
плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
имеет вид
0
131313
121212
111
=
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
,
где точки имеют координаты: М
1
(х
1
,у
1
,z
1
), М
2
(х
2
,у
2
,z
2
),
М
3
(х
3
,у
3
,z
3
).
Расстояние от точки М
0
(х
0
,у
0
,z
0
) до плоскости
Ах+Ву+Сz+Д=0 находится по формуле
222
000
ДBA
ДCzByAx
d
++
+++
=
.
21
Угол между плоскостями определяется как угол между
их нормальными векторами:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21
cos
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
++++
++
=
=
α
.
Отсюда следует
- условие параллельности плоскостей:
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
-условие перпендикулярности плоскостей:
212121
CCBBAA
+
+
.
Общее уравнение прямой в пространстве определяется
как уравнение линии пересечения двух плоскостей:
=+++
=+++
.0
0
2222
1111
ДzCyBxA
ДzCyBxA
Каноническое уравнение прямой в пространствеэто
уравнение прямой проходящей через точку М
0
(х
0
,у
0
,z
0
)
параллельно вектору
),,( pnml
, называемому направляющим
вектором прямой:
.
000
p
zz
n
yy
m
xx
=
=
Уравнение прямой проходящей через две точки
М
1
(х
1
,у
1
,z
1
), М
2
(х
2
,у
2
,z
2
) получается из канонического, если в
качестве направляющего взять вектор
21
ММ
:
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
=
=
.
Угол между двумя прямыми определяется как угол
между направляющими векторами, откуда следует условие
параллельности и перпендикулярности прямых.
Угол φ между прямой и плоскостью определяется из
соотношения
222222
sin
pnmCBA
CpBnAm
++++
++
=
ϕ
.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку М
0
(3,-2,4) перпендикулярно плоскости 5х+3у-
7z+1=0.
Так как прямая перпендикулярна плоскости, то
22
М
0
М