Высшая математика. Бурлова Л.В - 12 стр.

        5. Уравнения плоскости и прямой в пространстве.                                Угол между плоскостями определяется как угол между
                                                                                  их нормальными векторами:
     Плоскость однозначно определяется точкой на                                        n1 ⋅ n 2   A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 .
                                                                                  cos α =              =
плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка                                   n1 ⋅ n 2       A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C 22
М0 (х0,у0,z0) лежит на плоскости, вектор n ( A, B, C )                                 Отсюда следует
перпендикулярен к плоскости, М(x,y,z) – произвольная точка                        - условие параллельности плоскостей: A1 = B1 = C1
плоскости        M 0M ⊥ n ⇒                    скалярное           произведение                                                             A2   B2   C2

M 0 M ⋅ n = 0 ⇒ A ( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 .   Преобразуя   -условие перпендикулярности плоскостей: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 .
последнее равенство, получим Ах+Ву+Сz+Д=0, где Д=-Ах0-                                 Общее уравнение прямой в пространстве определяется
Ву0-Сz0.                                                                          как уравнение линии пересечения двух плоскостей:
     Уравнение           Ах+Ву+Сz+Д=0                  называется        общим     A1 x + B1 y + C1 z + Д 1 = 0
                                                                                  
уравнением плоскости в пространстве. Вектор n называется                           A2 x + B2 y + C 2 z + Д 2 = 0.
нормальным вектором плоскости.                                                         Каноническое уравнение прямой в пространстве – это
                                          Верно, что всякое уравне                уравнение прямой проходящей через точку М0 (х0,у0,z0)
                         n ( A, B, C )
                                                                                  параллельно вектору l ( m, n, p) , называемому направляющим
                                               ние первой степени отно -
                                              сительно трех переменных            вектором прямой:
                                              х,у,zопределяет некоторую                                      x − x0 y − y0 z − z 0
          М0                                                                                                       =      =        .
                                               плоскость в пространстве.                                       m       n      p
         М
                                                                                       Уравнение прямой проходящей через две точки
                                                                                  М1(х1,у1,z1), М2 (х2,у2,z2) получается из канонического, если в
    Уравнение плоскости, проходящей через три точки                               качестве направляющего взять вектор М 1 М 2 :
имеет вид                                                                           x − x1   y − y1   z − z1 .
      x − x1 y − y1  z − z1                                                                =        =
                                                                                   x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
     x − x y − y z − z = 0,
         2     1     2     1    2     1                                                Угол между двумя прямыми определяется как угол
      x 3 − x1 y 3 − y1 z 3 − z1                                                  между направляющими векторами, откуда следует условие
где точки имеют координаты: М1 (х1,у1,z1), М2 (х2,у2,z2),                         параллельности и перпендикулярности прямых.
М3 (х3,у3,z3).                                                                         Угол φ между прямой и плоскостью определяется из
     Расстояние от точки М0 (х0,у0,z0) до плоскости                               соотношения sin ϕ =                        Am + Bn + Cp                  .
Ах+Ву+Сz+Д=0 находится по формуле                                                                                     2      2      2
                                                                                                                    A +B +C ⋅ m +n + p      2    2    2

                                                                                       Пример. Составить уравнение прямой, проходящей
          Ax 0 + By 0 + Cz 0 + Д .
       d=                                                                         через точку М0 (3,-2,4) перпендикулярно плоскости 5х+3у-
               A2 + B 2 + Д 2                                                     7z+1=0.
                                                                                       Так как прямая перпендикулярна плоскости, то

21                                                                                                                                                             22