Высшая математика. Бурлова Л.В - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

неколлинеарным векторам, а вектор в пространствепо трем
некомпланарным векторам. Если
kji ,,
- единичные векторы,
сонаправленные с координатными осями, то вектор
a
можно
представить:
kzjyixa ++=
- в пространстве,
jyixa +=
- на плоскости,
где x,y,zкоординаты вектора
a
в данной системе
координат. Координаты вектора являются также проекциями
вектора
a на оси координат. Если известны координаты
точек
),,(),,,(
BBBAAA
zyxBzyxА
- начала и конца вектора
A
Ba =
, то координаты вектора
A
B
находятся по формулам:
AB
a
AB
a
AB
a
zzzyyyxxx
=
=
= ,,
.
Длина вектора (модуль вектора) находится как
расстояние между двумя точками:
.
)()()(
222
222
aaa
ABABAB
zyx
zzyyxxABa
++=
=++==
4. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов
a
и
b
называется число, обозначаемое (
a ,b ) или a ·b, равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними.
ϕ
cosbaba =
, где φугол между векторами.
Свойства скалярного произведения:
лярныперпендикуи0)2
)1
=
=
baba
abba
aпрbbпраba
bа
==3)
19
2
)5
)()()4
аааaa
baba
==
=
λλ
cabacba +=+ )()6
b
ba
aпр
ba
ba
b
=
= ,cos)7
ϕ
Для векторов, заданных в координатной форме,
справедливы формулы:
2
2
2
2
2
2
212121
222111
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
212121
),,(),,(где
,cos
zyx
zzyyxx
aпр
zyxbzyxa
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxxba
b
++
++
=
++++
++
=
++=
ϕ
Пример. Найти вектор
bac 23
=
и косинус угла между
векторами
a и b , если известно, что
ABa
=
,
CДb =
, где
А(1,-3,2), В(4,5,-1), С(0,2,-3), Д(3,-2,5)заданные точки.
Решение. Найдем координаты векторов
a и b по
известным координатам начала и конца
a (4-1,5-(-3),-1-2) или a (3,8,-3) или
kjia 383 +=
.
Аналогично,
b
(3,-4,8) или
kjib 843 +=
.
=
= bac 23
3
)383( kji +
-2
)843( kji +
=
=
kji 25323 +
.
8982
47
8)4(3)3(83
8)3()4(833
222222
=
++++
+
+
=
ϕ
соs
.
По данному разделу достаточно подробно рассмотрены
примеры в [3].
20