Высшая математика. Бурлова Л.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

неколлинеарным векторам, а вектор в пространстве – по трем
некомпланарным векторам. Если
kji ,,
- единичные векторы,
сонаправленные с координатными осями, то вектор
a
можно
представить:
kzjyixa ++=
- в пространстве,
jyixa +=
- на плоскости,
где x,y,z – координаты вектора
a
в данной системе
координат. Координаты вектора являются также проекциями
вектора
a на оси координат. Если известны координаты
точек
),,(),,,(
BBBAAA
zyxBzyxА
- начала и конца вектора
A
Ba =
, то координаты вектора
A
B
находятся по формулам:
AB
a
AB
a
AB
a
zzzyyyxxx
−
=−
=
−= ,,
.
Длина вектора (модуль вектора) находится как
расстояние между двумя точками:
.
)()()(
222
222
aaa
ABABAB
zyx
zzyyxxABa
++=
=−+−+−==
4. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов
a
и
b
называется число, обозначаемое (
a ,b ) или a ·b, равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними.
ϕ
cosbaba ⋅=⋅
, где φ – угол между векторами.
Свойства скалярного произведения:
лярныперпендикуи0)2
)1
−⇔=⋅
⋅=⋅
baba
abba
aпрbbпраba
bа
⋅=⋅=⋅3)
19
2
)5
)()()4
аааaa
baba
=⋅=⋅
⋅=⋅
λλ
cabacba ⋅+⋅=+⋅ )()6
b
ba
aпр
ba
ba
b
⋅
=
⋅
⋅
= ,cos)7
ϕ
Для векторов, заданных в координатной форме,
справедливы формулы:
2
2
2
2
2
2
212121
222111
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
212121
),,(),,(где
,cos
zyx
zzyyxx
aпр
zyxbzyxa
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxxba
b
++
++
=
++⋅++
++
=
++=⋅
ϕ
Пример. Найти вектор
bac 23
−
=
и косинус угла между
векторами
a и b , если известно, что
ABa
=
,
CДb =
, где
А(1,-3,2), В(4,5,-1), С(0,2,-3), Д(3,-2,5) – заданные точки.
Решение. Найдем координаты векторов
a и b по
известным координатам начала и конца
a (4-1,5-(-3),-1-2) или a (3,8,-3) или
kjia 383 −+=
.
Аналогично,
b
(3,-4,8) или
kjib 843 +−=
.
=
−
= bac 23
3
)383( kji −+
-2
)843( kji +−
=
=
kji 25323 −+
.
8982
47
8)4(3)3(83
8)3()4(833
222222
⋅
−=
+−+−++
⋅
−
+
−
⋅
+
⋅
=
ϕ
соs
.
По данному разделу достаточно подробно рассмотрены
примеры в [3].
20 
неколлинеарным векторам, а вектор в пространстве – по трем                   4) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b)
некомпланарным векторам. Если i, j , k - единичные векторы,                                                2
                                                                             5) a ⋅ a = а ⋅ а = а
сонаправленные с координатными осями, то вектор a можно
представить:                                                                 6) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
                                                                                          a ⋅b                 a⋅b
                                                                             7) cos ϕ =           , пр b a =
      a = xi + y j + z k - в пространстве,                                                a⋅b                      b
     a = xi + y j   - на плоскости,                                                 Для векторов, заданных в координатной                                    форме,
где x,y,z – координаты вектора a в данной системе                            справедливы формулы:
координат. Координаты вектора являются также проекциями                      a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
вектора a на оси координат. Если известны координаты                                          x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
                                                                             cos ϕ =                                          ,
точек А( x A , y A , z A ), B ( x B , y B , z B ) - начала и конца вектора               x12 + y12 + z12 ⋅ x 22 + y 22 + z 22
a = AB , то координаты вектора AB находятся по формулам:                     где a ( x1 , y1 , z1 )      b (x2 , y2 , z 2 )
xa = xB − x A , ya = y B − y A , z a = z B − z A .                                      x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
     Длина вектора (модуль вектора) находится как                            пр b a =
                                                                                               x 22 + y 22 + z 22
расстояние           между                двумя          точками:
                      2               2               2
 a = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) =
                                                                                    Пример. Найти вектор c = 3a − 2b и косинус угла между
        =    xa2   +   ya2   +   z a2 .                                      векторами a и b , если известно, что a = AB , b = CД , где
                                                                             А(1,-3,2), В(4,5,-1), С(0,2,-3), Д(3,-2,5) – заданные точки.
        4. Скалярное произведение векторов и его свойства.                        Решение. Найдем координаты векторов a и b по
                                                                             известным координатам начала и конца
      Скалярным произведением двух векторов a и b                            a (4-1,5-(-3),-1-2) или a (3,8,-3) или a = 3i + 8 j − 3k .
называется число, обозначаемое ( a , b ) или a · b , равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними.                       Аналогично, b (3,-4,8) или b = 3i − 4 j + 8k .
     a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ , где φ – угол между векторами.                           c = 3a − 2b = 3 (3i + 8 j − 3k ) -2 (3i − 4 j + 8k ) =
      Свойства скалярного произведения:                                              = 3i + 32 j − 25k .
      1) a ⋅ b = b ⋅ a                                                                           3 ⋅ 3 + 8 ⋅ (−4) + (−3) ⋅ 8                    47       .
                                                                             соsϕ =                                                       =−
      2) a ⋅ b = 0 ⇔ a и b − перпендикулярны
                                                                                           2       2
                                                                                          3 + 8 + (−3)         2        2     2
                                                                                                                       3 + (−4) + 8   2        82 ⋅ 89
                                                                             По данному разделу достаточно подробно рассмотрены
      3) a ⋅ b = а ⋅ пра b = b ⋅ прb a
                                                                             примеры в [3].


19                                                                                                                                                               20

Страницы