Высшая математика. Бурлова Л.В - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

нормальный вектор плоскости
n
(5,3,-7) будет для прямой
направляющим вектором, поэтому подставим в каноническое
уравнение прямой координаты точки и нормального вектора
7
4
3
2
5
3
=
+
=
z
y
x
.
Решения типовых задач на плоскость и прямую в
пространстве см. [1] стр. 113-129.
6. Собственные значения и собственные векторы
матрицы.
Собственным вектором квадратной матрицы А порядка
n называется такой ненулевой вектор
х
, который
удовлетворяет
уравнению
х
А
х
λ
=
, где λчисло. Числовой
множитель λ называется собственным значением матрицы А.
преобразуем уравнение:
0)(00
=
=
=
х
Е
х
Е
А
х
х
А
х
λ
λ
λ
.
Уравнение
0)( =
х
Е
λ
есть однородное уравнение.
Чтобы однородное уравнение имело ненулевое решение х,
необходимо и достаточно, чтобы
0
=
ЕА
λ
. Уравнение
относительно λ:
0=
ЕА
λ
называется характеристическим
уравнением, которое является алгебраическим уравнением
степени n относительно λ.
Возьмем любой корень λ
к
характеристического
уравнения и подставим в уравнение
0)(
=
хЕА
к
λ
, которое
имеет ненулевое решение
к
х
. Так как уравнение однородно,
то вектор
к
х определен лишь с точностью до числового
множителя, т.е. определено направление собственного
вектора, но не его длина. Поэтому часто рассматривают
нормированные собственные векторы, т.е. орты собственных
векторов. Справедливо: если характеристические корни
nк
к
,1, =
λ
матрицы А различны, тогда соответствующие им
23
собственные векторы
к
х линейно независимы. Заметим,
матрицы с кратными и комплексными корнями редко
встречаются в экономических приложениях.
Пример. См. [2] стр.80.
7. Кривые второго порядка.
Необходимо знать определение, канонические
уравнения и свойства линий 2-го порядка: окружности,
эллипса, гиперболы, параболы, их графики.
Пример. Найдем каноническое уравнение эллипса, если
его эксцентриситет
3
5
=
ε
, а сумма длин полуосей равна 5.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
,
где а,b – большая и малая полуоси. Эксцентриситет
222
где, bac
a
c
==
ε
.
3
5
22
=
==
a
ba
a
c
ε
.
Возведем это равенство в квадрат, получим
9
5
2
22
=
a
ba
.
Получим систему:
=
=+
9
5
2
22
a
ba
ba
Решение системы: а=3, b=2, следовательно,
каноническое уравнение эллипса
1
49
2
2
=+
y
x
.
24