Высшая математика. Бурлова Л.В - 13 стр.

нормальный вектор плоскости n (5,3,-7) будет для прямой           собственные векторы х к линейно независимы. Заметим,
направляющим вектором, поэтому подставим в каноническое           матрицы с кратными и комплексными корнями редко
уравнение прямой координаты точки и нормального вектора           встречаются в экономических приложениях.
     x−3 y+2 z−4.                                                      Пример. См. [2] стр.80.
         =     =
       5       3    −7
     Решения типовых задач на плоскость и прямую в                          7. Кривые второго порядка.
пространстве см. [1] стр. 113-129.
                                                                       Необходимо      знать   определение,  канонические
           6. Собственные значения и собственные векторы          уравнения и свойства линий 2-го порядка: окружности,
              матрицы.                                            эллипса, гиперболы, параболы, их графики.
                                                                       Пример. Найдем каноническое уравнение эллипса, если
     Собственным вектором квадратной матрицы А порядка            его эксцентриситет ε = 5 , а сумма длин полуосей равна 5.
n называется такой ненулевой вектор х , который                                              3
удовлетворяет уравнению Ах = λх , где λ – число. Числовой                                                          2   2
                                                                         Каноническое уравнение эллипса имеет вид x + y = 1 ,
множитель λ называется собственным значением матрицы А.                                                            2
                                                                                                                     a 2
                                                                                                                         b
преобразуем уравнение:                                            где а,b – большая и малая полуоси. Эксцентриситет
Ах − λх = 0 ⇒ Ах − λ Е х = 0 ⇒ ( А − λ Е ) х = 0 .                   c
                                                                  ε = , где c 2 = a 2 − b 2 .
     Уравнение ( А − λ Е ) х = 0 есть однородное уравнение.          a
Чтобы однородное уравнение имело ненулевое решение х,                                c   a2 − b2    5.
                                                                                ε=     =         =
необходимо и достаточно, чтобы А − λ Е = 0 . Уравнение                               a     a       3
                                                                                                                    2   2
относительно λ: А − λ Е = 0 называется характеристическим                Возведем это равенство в квадрат, получим a − b = 5 .
                                                                                                                      2
                                                                                                                     a       9
уравнением, которое является алгебраическим уравнением
                                                                                            a+b=5
степени n относительно λ.                                                Получим систему:  a 2 − b 2
     Возьмем любой корень λк характеристического                                                       =9
                                                                                            a 2
уравнения и подставим в уравнение ( А − λ к Е ) х = 0 , которое
                                                                         Решение    системы:       а=3,   b=2,   следовательно,
имеет ненулевое решение х к . Так как уравнение однородно,                                               2   2
                                                                  каноническое уравнение эллипса x + y = 1 .
то вектор х к определен лишь с точностью до числового                                                    9   4
множителя, т.е. определено направление собственного
вектора, но не его длина. Поэтому часто рассматривают
нормированные собственные векторы, т.е. орты собственных
векторов. Справедливо: если характеристические корни
λ к , к = 1, n матрицы А различны, тогда соответствующие им

                                                                                                                                 24
23