Составители:
119
dY
dt
YN Y Y N Y Y=⋅ −⋅ −⋅= −⋅−⋅
ααβαβα
22
()
Это дифференциальное уравнение называется уравнением
Ферхюльста-Перла, которое, с точностью до обозначений, совпадает с
уравнением типа Бернулли.
Найдем стационарные точки логистической кривой из условия
dp
d
t
=
0
.
В этом случае из (2.10) следует, что
0
2
=⋅−⋅
λρ
pp
.
Отсюда находим стационарные решения p1=0, p2 = λ/ρ.
Проанализируем стационарные точки на устойчивость, построив фазовые
траектории по уравнению (2.10) для различных знаков λ и ρ (рис.2.59).
Рис. 2.59. Анализ стационарных точек логисты на устойчивость
Для положительных знаков λ и ρ стационарное состояние p1= 0
является неустойчивым, а состояние p2 = λ/ρ - устойчивое. Для
отрицательных знаков λ и ρ характер состояний p1 и p2 меняется на
обратный.
Найдем область устойчивости, используя первый метод Ляпунова.
Линеаризуем уравнение (2.10) в окрестности невозмущенного движения
:
ΔΔ Δ Δp
fp
p
p
pp
p
ppp
•
==
⋅−⋅
=−
∂
∂
∂λ ρ
∂
λρ
() ( )
()
2
2
где
p
pf
∂
∂ )(
- матрица Якоби. Переходим к операторной форме
записи, заменяя производную в левой части:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
