Математика. Быкадорова Г.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
Свойства неопределенного интеграла
1.
(
)
(
)
∫
= dxxfdxxfd
- дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению .
2.
(
)
(
)
∫
+= CxFxdF
- неопределенный интеграл от дифференциала
функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной .
3.
(
)
(
)
∫
∫
⋅=⋅ dxxfadxxfa
- где а – const, т.е. постоянный множитель можно
вынести за знак интеграла.
4.
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
−+=−+ dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf
321321
- интеграл суммы или
разности равен сумме или разности интегралов.
Формулы интегрирования
1.
∫
+= Cxdx
. 2.
∫
+
+
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1
, где 1
≠
n .
3.
∫
+= Cxdx
ln
1
. 4.
∫
+= Cedxe
xx
.
5.
∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
. 6.
∫
+−= Cxxdx cossin
.
7.
∫
+= Cxxdx sincos
. 8.
∫
+= Ctgxdx
2
cos
1
.
9.
∫
+−= Cctgxdx
x
2
sin
1
. 10.
∫
+=
−
Cxdx
x
arcsin
1
1
2
.
11.
∫
+=
+
Carctgxdx
x
2
1
. 12.
∫
+=
+
C
a
x
arctg
a
dx
x
a
11
22
.
13.
∫
+=
−
C
a
x
dx
xa
arcsin
1
22
. 14.
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
.
15.
∫
+±+=
±
Caxxdx
ax
22
22
ln
1
.
Пример 2.2. Найти неопределенный интеграл:
(
)
Cxxxxdxdxxxdxxdxdxxxx +−+−=−+−=−+−
∫
∫
∫
∫
∫
345234234
3451345
.
Проверка:
(
)
1345
234345
−+−=
′
+−+− xxxCxxxx
.
Пример 2.3. Найти неопределенный интеграл:
∫∫∫∫
++=+=
+=
+
Cx
x
dx
x
xdxdx
x
xdx
x
x
ln
2
111
22
.
Пример 2.4. Найти неопределенный интеграл:
Ctgxctgxdx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
xx
dx
xx
x
+−−=−=
=
−=
−
=
∫∫
∫∫∫
22
2222
22
22
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
sincos
sincos
sincos
2cos
                                                        20


                                     Свойства неопределенного интеграла
1. d ∫f (x )dx = f (x )dx - дифференциал неопределенного интеграла равен
   подынтегральному выражению.
2. ∫dF (x ) = F (x ) +C - неопределенный интеграл от дифференциала
   функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.
3. ∫a ⋅ f (x )dx =a ⋅ ∫f (x )dx - где а – const, т.е. постоянный множитель можно
   вынести за знак интеграла.
4. ∫[ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx =∫f1 (x )dx +∫f 2 (x )dx −∫f 3 (x )dx - интеграл суммы или
   разности равен сумме или разности интегралов.
                                           Формулы интегрирования
                                                                         x n+1
   1.    ∫dx =x +C .                                          2. ∫x dx =
                                                                     n

                                                                         n +1
                                                                               +C , где n ≠1 .
             1
         ∫x dx =ln x +C .                                     4. ∫e dx =e +C .
                                                                   x     x
   3.
                              ax
   5. ∫a x dx =                   +C .                        6. ∫sin xdx =−cos x +C .
                             ln a
                                                                         1
   7. ∫cos xdx =sin x +C .                                    8.   ∫cos      2
                                                                              x
                                                                                  dx =tgx +C .
                 1                                                           1
   9.    ∫sin    2
                     x
                             dx =−ctgx +C .                   10.   ∫ 1 −x        2
                                                                                      dx =arcsin x +C .

          1                                                              1         1       x
   11. ∫1 +x 2 dx =arctgx +C .                                12.   ∫a 2 +x 2 dx =
                                                                                   a
                                                                                     arctg
                                                                                           a
                                                                                             +C .
            1                x                                               1         1  x −a
   13. ∫ 2         dx =arcsin +C .                            14.   ∫x            dx = ln      +C .
          a −x   2           a                                           2
                                                                             −a 2
                                                                                      2a x +a
                         1
   15.       ∫   x ±a2         2
                                   dx =ln x + x 2 ±a 2 +C .

Пример 2.2. Найти неопределенный интеграл:
  ∫(5x                                )
             −4 x 3 +3x 2 −1 dx =5∫x 4 d x −4 ∫x 3 d x +3∫x 2 dx −∫dx =x 5 −x 4 +x 3 −x +C .
         4


                                    ′
    Проверка: (x 5 −x 4 +x 3 −x +C ) =5 x 4 −4 x 3 +3x 2 −1 .
Пример 2.3. Найти неопределенный интеграл:
                          x 2 +1       �      1�              1      x2
                         ∫ x     dx =∫� x �
                                         � x +   � dx =∫ ∫x
                                                        xdx +   dx =
                                                                     2
                                                                        +ln x +C .

Пример 2.4. Найти неопределенный интеграл:
             cos 2 x            cos 2 x −sin 2 x       � 1         1 �
         ∫cos 2 x sin 2 x dx =∫ cos 2 x sin 2 x dx =∫�� sin 2 x −cos 2 x �� dx =
               1              1
         =∫ 2 dx −∫ 2 dx =−ctgx −tgx +C
            sin x           cos x

Страницы