Математика. Быкадорова Г.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
Самый распространенный прием замены переменной есть
подстановка вида )( xz
ϕ
=
, где z – новая переменная. В этом случае
формула замены переменной будет иметь вид
(
)
[
]
(
)
(
)
∫
∫
=
′
dzzfdxxxf ϕϕ
.
В полученном после интегрирования по переменной z выражении
надо перейти снова к аргументу х.
Пример 2.5.
(
)
∫
+ dxx
5
1
.
Сделаем замену переменной
zx
=
+
1
. Продифференцируем это
равенство :
(
)
dzdxdzxd
⇒
1
.
Сделаем замену в интеграле :
() ()
∫∫
++=+==+ CxC
z
dzzdxx
6
6
5
5
1
6
1
6
1 .
Пример 2.6.
∫∫
++=+==
+
CxCz
z
dz
x
dxx
3
3
2
1ln
3
1
ln
3
1
3
1
1
.
Здесь была проведена следующая замена переменной :
zx =+
3
1
:
(
)
3
31
223
dz
dxxdzdxxdzxd =⇒=⇒=+
.
Пример 2.7.
()
∫∫
+
−
=+=−=
−
C
e
C
z
z
dz
e
dxe
x
x
x
1
22
2
1
2
22
.
Замена:
(
)
dzdxedzedze
xxx
=⇒=−⇒=− 11
.
Пример 2.8.
∫∫∫
+−=+−=
−
−=
−
−
=
−
C
x
C
t
t
t
d
t
dt
x
xdx
3
3cos
arcsin
3
1
3
arcsin
3
1
3
1
3
3
1
9
3
3cos9
3sin
222
.
Замена:
3
3sin3cos
dt
xdxtx −=⇒=
.
Задания
2.3. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .
2.3.1.
∫
+ dxx 32
. 2.3.2.
(
)
∫
+ dxx
4
53
. 2.3.3.
()
∫
+
2
13 x
dx
.
2.3.4.
∫
+ dxx 2 . 2.3.5.
(
)
∫
+ dxx
2
3 . 2.3.6.
(
)
∫
− dxx
2
124 .
2.3.7.
∫
+
dx
e
e
x
x
10
. 2.3.8.
∫
xdx3cos
. 2.3.9.
∫
dx
x
2
sin
.
2.3.10.
∫
xdx
5
cos
. 2.3.11.
∫
xdx
6
sin
. 2.3.12.
−
dxe
x 3
.
2.3.13.
∫
x
dx
5
cos
2
. 2.3.14.
∫
+
−
dxee
xx
22
. 2.3.15.
∫
− x
dx
23
.
2.3.16.
∫
− dxx 14
. 2.3.17.
(
)
∫
− dxx
4
23
. 2.3.18.
∫
− dxx
3
65
. 
                                                      22
    Самый       распространенный прием     замены переменной есть
подстановка вида z =ϕ(x) , где z – новая переменная. В этом случае
формула замены переменной будет иметь вид

                                        ∫f [ϕ(x )]ϕ ′(x )dx =∫f (z )dz .
    В полученном после интегрирования по переменной z выражении
надо перейти снова к аргументу х.
Пример 2.5. ∫(1 +x ) dx .
                    5


       Сделаем замену переменной 1 +x =z . Продифференцируем это
   равенство: d (1 +x ) =dz ⇒ dx =dz .
                                                                         z6     1
Сделаем замену в интеграле: ∫(1 +x )5 dx =∫z 5 dz =                         +C = (1 +x ) +C .
                                                                                        6

                                                                         6      6
                        x 2 dx 1 dz 1            1
Пример 2.6.           ∫1 +x 3 =3 ∫ z =3 ln z +C =3 ln 1 +x +C .
                                                          3



       Здесь была проведена следующая замена переменной: 1 +x 3 =z :
                                  (     )
                                 d 1 +x 3 =dz     ⇒    3x 2 dx =dz ⇒ x 2 dx =
                                                                                    dz
                                                                                    3
                                                                                       .
                       2e x dx        dz 2       2
Пример 2.7.         ∫(1 −e )x 2
                                  =−2∫ 2 = +C =
                                      z   z    1 −e x
                                                      +C .

   Замена: 1 −e x =z ⇒ d (1 −e x ) =dz ⇒ e x dx =dz .
Пример 2.8.
                               dt          � t�
                             −           d� �
       sin 3 xdx               3 =−1        � 3�             1      t     1       cos 3 x
   ∫   9 −cos 3 x
                2
                       =∫
                             9 −t 2 3 ∫                2
                                                           =− arcsin +C =− arcsin
                                                             3      3     3         3
                                                                                          +C .
                                              � t�
                                        1 −� �
                                               � 3�
                                                       dt
       Замена: cos 3 x =t ⇒                 sin 3xdx =− .
                                                       3
                                                 Задания
2.3.   Найти неопределенный интеграл методом замены переменной.
                                                                                               dx
   2.3.1.   ∫   2 x +3dx .                  2.3.2. ∫(3 +5 x )4 dx .           2.3.3.   ∫(3x +1)      2
                                                                                                         .

   2.3.4.   ∫   x +2dx .                    2.3.5. ∫(x +3)2 dx .              2.3.6. ∫4(2 x −1)2 dx .
                10 +e x                                                                        x
   2.3.7.   ∫           dx .                2.3.8. ∫cos 3 xdx .               2.3.9. ∫sin dx .
                 ex                                                                            2
   2.3.10. ∫cos 5 xdx .                     2.3.11. ∫sin xdx .                2.3.12. ∫e −3 x dx .
                                                        6


                dx                                     �   x
                                                                −
                                                                 x
                                                                     �                          dx
   2.3.13.   ∫cos 2 5 x .                   2.3.14. ∫�� e 2 +e 2 �� dx .      2.3.15.   ∫                    .
                                                       �        �                              3 −2 x
   2.3.16.   ∫      4 x −1dx .              2.3.17. ∫(3 −2 x ) dx .
                                                                4
                                                                              2.3.18.   ∫ 5 −6 xdx .
                                                                                           3

Страницы